与えられた数式を計算し、結果を求めます。 数式は以下です。 $\frac{3}{\sqrt{6}} \div \frac{6}{\sqrt{3}} - \frac{2\sqrt{10}}{\sqrt{12}} \times \frac{\sqrt{72}}{\sqrt{30}}$

1. 問題の内容

与えられた数式を計算し、結果を求めます。

数式は以下です。

$\frac{3}{\sqrt{6}} \div \frac{6}{\sqrt{3}} - \frac{2\sqrt{10}}{\sqrt{12}} \times \frac{\sqrt{72}}{\sqrt{30}}$

2. 解き方の手順

まず、割り算を掛け算に変換します。

$\frac{3}{\sqrt{6}} \div \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{6}} \times \frac{\sqrt{3}}{6} = \frac{3\sqrt{3}}{6\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{6}}$

次に、$\sqrt{6}$ を $\sqrt{2} \times \sqrt{3}$ と分解して、約分します。

$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}\sqrt{3}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$

$\frac{1}{2\sqrt{2}}$ を有理化します。

$\frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2 \times 2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

次に、掛け算の部分を計算します。

$\frac{2\sqrt{10}}{\sqrt{12}} \times \frac{\sqrt{72}}{\sqrt{30}} = \frac{2\sqrt{10}\sqrt{72}}{\sqrt{12}\sqrt{30}}$

$\sqrt{10} = \sqrt{2}\sqrt{5}, \sqrt{72} = \sqrt{36\times2} = 6\sqrt{2}, \sqrt{12} = \sqrt{4\times3} = 2\sqrt{3}, \sqrt{30} = \sqrt{5}\sqrt{6} = \sqrt{5}\sqrt{2}\sqrt{3}$ と分解します。

$\frac{2\sqrt{10}\sqrt{72}}{\sqrt{12}\sqrt{30}} = \frac{2\sqrt{2}\sqrt{5}\times 6\sqrt{2}}{2\sqrt{3}\sqrt{5}\sqrt{2}\sqrt{3}} = \frac{12 \times 2 \times \sqrt{5}}{2 \times 3 \times \sqrt{5} \sqrt{2}} = \frac{24\sqrt{5}}{6\sqrt{10}} = \frac{4\sqrt{5}}{\sqrt{10}} = \frac{4\sqrt{5}}{\sqrt{2}\sqrt{5}} = \frac{4}{\sqrt{2}}$

$\frac{4}{\sqrt{2}}$ を有理化します。

$\frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$

最後に、引き算を行います。

$\frac{\sqrt{2}}{4} - 2\sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{8\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2} - 8\sqrt{2}}{4} = \frac{-7\sqrt{2}}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{-7\sqrt{2}}{4}$