一辺の長さが1の正六角形ABCDEFにおいて、線分DEを2:1に内分する点をPとする。直線APと直線BFの交点をQとする。$\overrightarrow{AB} = \vec{a}$, $\overrightarrow{AF} = \vec{b}$ とおくとき、$\overrightarrow{AP}$, $\overrightarrow{AQ}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$ を用いて表せ。また、 $|\overrightarrow{AQ}|$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

一辺の長さが1の正六角形ABCDEFにおいて、線分DEを2:1に内分する点をPとする。直線APと直線BFの交点をQとする。$\overrightarrow{AB} = \vec{a}$, $\overrightarrow{AF} = \vec{b}$ とおくとき、$\overrightarrow{AP}$, $\overrightarrow{AQ}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$ を用いて表せ。また、 $|\overrightarrow{AQ}|$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\overrightarrow{AP}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ で表す。

$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AF} + (-\overrightarrow{AB}) = \overrightarrow{AF} = \vec{b} + \vec{a} = 2\vec{b}$

$\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AF} + \overrightarrow{CD} = 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{DE} = \overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AD} = (2\vec{a} + \vec{b}) - (2\vec{b}) = 2\vec{a} - \vec{b}$

$\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DP} = \overrightarrow{AD} + \frac{2}{3} \overrightarrow{DE} = \vec{a} + \vec{b} + \frac{2}{3} (2\vec{a} - \vec{b})$

$\overrightarrow{AP} = \vec{a} + \vec{b} + \frac{4}{3} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b} = \frac{7}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$

(2) $\overrightarrow{AQ}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ で表す。

点Qは直線AP上にあるので、ある実数 $k$ を用いて $\overrightarrow{AQ} = k\overrightarrow{AP}$ と表せる。

$\overrightarrow{AQ} = k (\frac{7}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}) = \frac{7k}{3} \vec{a} + \frac{k}{3} \vec{b}$

点Qは直線BF上にあるので、ある実数 $l$ を用いて $\overrightarrow{AQ} = (1-l)\overrightarrow{AB} + l\overrightarrow{AF}$ と表せる。

$\overrightarrow{AQ} = (1-l)\vec{a} + l\vec{b}$

係数を比較すると、

$\frac{7k}{3} = 1-l$

$\frac{k}{3} = l$

上の式に下の式を代入すると、

$\frac{7k}{3} = 1 - \frac{k}{3}$

$\frac{8k}{3} = 1$

$k = \frac{3}{8}$

よって、

$\overrightarrow{AQ} = (1-\frac{3}{8})\vec{a} + \frac{3}{8}\vec{b} = \frac{5}{8}\vec{a} + \frac{3}{8}\vec{b}$

(3) $|\overrightarrow{AQ}|$ を求める。

正六角形なので、$|\vec{a}|=1$, $|\vec{b}|=1$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos{\frac{\pi}{3}} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

$|\overrightarrow{AQ}|^2 = (\frac{5}{8}\vec{a} + \frac{3}{8}\vec{b}) \cdot (\frac{5}{8}\vec{a} + \frac{3}{8}\vec{b}) = (\frac{5}{8})^2 |\vec{a}|^2 + 2 \cdot \frac{5}{8} \cdot \frac{3}{8} \vec{a} \cdot \vec{b} + (\frac{3}{8})^2 |\vec{b}|^2$

$|\overrightarrow{AQ}|^2 = \frac{25}{64} + 2 \cdot \frac{15}{64} \cdot \frac{1}{2} + \frac{9}{64} = \frac{25}{64} + \frac{15}{64} + \frac{9}{64} = \frac{49}{64}$

$|\overrightarrow{AQ}| = \sqrt{\frac{49}{64}} = \frac{7}{8}$

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{AP} = \frac{7}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}$

$\overrightarrow{AQ} = \frac{5}{8}\vec{a} + \frac{3}{8}\vec{b}$

$|\overrightarrow{AQ}| = \frac{7}{8}$