与えられた関数 $f(x)$ について、指定された区間 $I$ における関数の増加・減少を調べる問題です。具体的には、以下の2つの関数について考えます。 (1) $f(x) = x^3 + 4x + 5$, 区間 $I = (-\infty, \infty)$ (2) $f(x) = x - e^x$, 区間 $I = (0, \infty)$

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ について、指定された区間 $I$ における関数の増加・減少を調べる問題です。具体的には、以下の2つの関数について考えます。

(1) $f(x) = x^3 + 4x + 5$, 区間 $I = (-\infty, \infty)$

(2) $f(x) = x - e^x$, 区間 $I = (0, \infty)$

2. 解き方の手順

関数の増減を調べるには、導関数 $f'(x)$ を計算し、その符号を調べます。

(1) $f(x) = x^3 + 4x + 5$ の場合：

まず、導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = 3x^2 + 4$

次に、$f'(x)$ の符号を調べます。区間 $I = (-\infty, \infty)$ で、$x^2 \geq 0$ なので、$3x^2 \geq 0$。したがって、$f'(x) = 3x^2 + 4 \geq 4 > 0$ となります。つまり、$f'(x)$ は常に正です。

(2) $f(x) = x - e^x$ の場合：

まず、導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = 1 - e^x$

次に、$f'(x)$ の符号を調べます。区間 $I = (0, \infty)$ で、$x > 0$ なので、$e^x > e^0 = 1$。したがって、$f'(x) = 1 - e^x < 1 - 1 = 0$ となります。つまり、$f'(x)$ は常に負です。

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = x^3 + 4x + 5$ は、区間 $(-\infty, \infty)$ で常に増加します。

(2) $f(x) = x - e^x$ は、区間 $(0, \infty)$ で常に減少します。