与えられた関数 $f(x)$ について、指定された区間 $I$ における関数の増加・減少を調べる問題です。具体的には、以下の2つの関数について考えます。 (1) $f(x) = x^3 + 4x + 5$, 区間 $I = (-\infty, \infty)$ (2) $f(x) = x - e^x$, 区間 $I = (0, \infty)$

解析学関数の増減導関数微分単調性
2025/7/9

1. 問題の内容

与えられた関数 f(x)f(x) について、指定された区間 II における関数の増加・減少を調べる問題です。具体的には、以下の2つの関数について考えます。
(1) f(x)=x3+4x+5f(x) = x^3 + 4x + 5, 区間 I=(,)I = (-\infty, \infty)
(2) f(x)=xexf(x) = x - e^x, 区間 I=(0,)I = (0, \infty)

2. 解き方の手順

関数の増減を調べるには、導関数 f(x)f'(x) を計算し、その符号を調べます。
(1) f(x)=x3+4x+5f(x) = x^3 + 4x + 5 の場合:
まず、導関数 f(x)f'(x) を求めます。
f(x)=3x2+4f'(x) = 3x^2 + 4
次に、f(x)f'(x) の符号を調べます。区間 I=(,)I = (-\infty, \infty) で、x20x^2 \geq 0 なので、3x203x^2 \geq 0。したがって、f(x)=3x2+44>0f'(x) = 3x^2 + 4 \geq 4 > 0 となります。つまり、f(x)f'(x) は常に正です。
(2) f(x)=xexf(x) = x - e^x の場合:
まず、導関数 f(x)f'(x) を求めます。
f(x)=1exf'(x) = 1 - e^x
次に、f(x)f'(x) の符号を調べます。区間 I=(0,)I = (0, \infty) で、x>0x > 0 なので、ex>e0=1e^x > e^0 = 1。したがって、f(x)=1ex<11=0f'(x) = 1 - e^x < 1 - 1 = 0 となります。つまり、f(x)f'(x) は常に負です。

3. 最終的な答え

(1) f(x)=x3+4x+5f(x) = x^3 + 4x + 5 は、区間 (,)(-\infty, \infty) で常に増加します。
(2) f(x)=xexf(x) = x - e^x は、区間 (0,)(0, \infty) で常に減少します。

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