与えられた曲線上の指定された $x$ 座標に対応する点における法線の方程式を求める問題です。具体的には、 (1) $y = x^3 - 3x^2 - 1$ の $x = 3$ における法線 (2) $y = \tan x$ の $x = \frac{\pi}{4}$ における法線 の方程式を求めます。

解析学微分導関数接線法線関数のグラフ
2025/7/9

1. 問題の内容

与えられた曲線上の指定された xx 座標に対応する点における法線の方程式を求める問題です。具体的には、
(1) y=x33x21y = x^3 - 3x^2 - 1x=3x = 3 における法線
(2) y=tanxy = \tan xx=π4x = \frac{\pi}{4} における法線
の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

(1) y=x33x21y = x^3 - 3x^2 - 1x=3x = 3 における法線
ステップ1: x=3x = 3 のときの yy 座標を求める。
y=(3)33(3)21=27271=1y = (3)^3 - 3(3)^2 - 1 = 27 - 27 - 1 = -1
よって、点 (3,1)(3, -1) における法線を求める。
ステップ2: 導関数 yy' を求める。
y=3x26xy' = 3x^2 - 6x
ステップ3: x=3x = 3 における yy' の値を求める。これは接線の傾きを表す。
y(3)=3(3)26(3)=2718=9y'(3) = 3(3)^2 - 6(3) = 27 - 18 = 9
ステップ4: 法線の傾きを求める。接線の傾きが mm のとき、法線の傾きは 1m-\frac{1}{m} となる。
法線の傾き =19= -\frac{1}{9}
ステップ5: 法線の方程式を求める。点 (x0,y0)(x_0, y_0) を通り、傾き mm の直線の方程式は yy0=m(xx0)y - y_0 = m(x - x_0) で表される。
y(1)=19(x3)y - (-1) = -\frac{1}{9}(x - 3)
y+1=19x+13y + 1 = -\frac{1}{9}x + \frac{1}{3}
y=19x+131y = -\frac{1}{9}x + \frac{1}{3} - 1
y=19x23y = -\frac{1}{9}x - \frac{2}{3}
(2) y=tanxy = \tan xx=π4x = \frac{\pi}{4} における法線
ステップ1: x=π4x = \frac{\pi}{4} のときの yy 座標を求める。
y=tan(π4)=1y = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1
よって、点 (π4,1)\left(\frac{\pi}{4}, 1\right) における法線を求める。
ステップ2: 導関数 yy' を求める。
y=1cos2x=sec2xy' = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x
ステップ3: x=π4x = \frac{\pi}{4} における yy' の値を求める。
y(π4)=sec2(π4)=(1cos(π4))2=(112)2=(2)2=2y'\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sec^2\left(\frac{\pi}{4}\right) = \left(\frac{1}{\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)}\right)^2 = \left(\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}}}\right)^2 = (\sqrt{2})^2 = 2
ステップ4: 法線の傾きを求める。
法線の傾き =12= -\frac{1}{2}
ステップ5: 法線の方程式を求める。
y1=12(xπ4)y - 1 = -\frac{1}{2}\left(x - \frac{\pi}{4}\right)
y=12x+π8+1y = -\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{8} + 1

3. 最終的な答え

(1) y=19x23y = -\frac{1}{9}x - \frac{2}{3}
(2) y=12x+π8+1y = -\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{8} + 1

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