与えられた曲線上の指定された $x$ 座標に対応する点における法線の方程式を求める問題です。具体的には、 (1) $y = x^3 - 3x^2 - 1$ の $x = 3$ における法線 (2) $y = \tan x$ の $x = \frac{\pi}{4}$ における法線 の方程式を求めます。

1. 問題の内容

与えられた曲線上の指定された $x$ 座標に対応する点における法線の方程式を求める問題です。具体的には、

(1) $y = x^3 - 3x^2 - 1$ の $x = 3$ における法線

(2) $y = \tan x$ の $x = \frac{\pi}{4}$ における法線

の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $y = x^3 - 3x^2 - 1$ の $x = 3$ における法線

ステップ1: $x = 3$ のときの $y$ 座標を求める。

$y = (3)^3 - 3(3)^2 - 1 = 27 - 27 - 1 = -1$

よって、点 $(3, -1)$ における法線を求める。

ステップ2: 導関数 $y'$ を求める。

$y' = 3x^2 - 6x$

ステップ3: $x = 3$ における $y'$ の値を求める。これは接線の傾きを表す。

$y'(3) = 3(3)^2 - 6(3) = 27 - 18 = 9$

ステップ4: 法線の傾きを求める。接線の傾きが $m$ のとき、法線の傾きは $-\frac{1}{m}$ となる。

法線の傾き $= -\frac{1}{9}$

ステップ5: 法線の方程式を求める。点 $(x_0, y_0)$ を通り、傾き $m$ の直線の方程式は $y - y_0 = m(x - x_0)$ で表される。

$y - (-1) = -\frac{1}{9}(x - 3)$

$y + 1 = -\frac{1}{9}x + \frac{1}{3}$

$y = -\frac{1}{9}x + \frac{1}{3} - 1$

$y = -\frac{1}{9}x - \frac{2}{3}$

(2) $y = \tan x$ の $x = \frac{\pi}{4}$ における法線

ステップ1: $x = \frac{\pi}{4}$ のときの $y$ 座標を求める。

$y = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$

よって、点 $\left(\frac{\pi}{4}, 1\right)$ における法線を求める。

ステップ2: 導関数 $y'$ を求める。

$y' = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$

ステップ3: $x = \frac{\pi}{4}$ における $y'$ の値を求める。

$y'\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sec^2\left(\frac{\pi}{4}\right) = \left(\frac{1}{\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)}\right)^2 = \left(\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}}}\right)^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$

ステップ4: 法線の傾きを求める。

法線の傾き $= -\frac{1}{2}$

ステップ5: 法線の方程式を求める。

$y - 1 = -\frac{1}{2}\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$

$y = -\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{8} + 1$

3. 最終的な答え

(1) $y = -\frac{1}{9}x - \frac{2}{3}$

(2) $y = -\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{8} + 1$