はい、承知いたしました。以下の問題と解答を示します。

はい、承知いたしました。以下の問題と解答を示します。

**問題２**

次の極限を計算せよ。

(1) $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{2x+3} - \sqrt{4x+1}}{x-1}$

(2) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2+x} - 2x)$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin{3x}}{\sin{5x}}$

(4) $\lim_{x \to 0} (1+3x)^{\frac{2}{x}}$

(5) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan^{-1}{x} - x}{x^3}$

**問題３**

次の関数の導関数を求めよ。

(1) $y = (x^3+3x+9)^{10}$

(2) $y = e^{2x}\sin{3x}$

(3) $y = \frac{2x+1}{x^2+8x+4}$

(4) $y = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$

(5) $y = \log{(\log{(x^2+9)})}$

(6) $y = \tan^2{x}$

(7) $y = \cos^3{\sqrt{x}}$

(8) $y = \sin^{-1}{(x^2)}$

(9) $y = x^{\frac{1}{x}}$

**解答**

**問題２**

(1) 問題の内容

$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{2x+3} - \sqrt{4x+1}}{x-1}$ を計算します。

2. 解き方の手順

分子を有理化します。

$\frac{\sqrt{2x+3} - \sqrt{4x+1}}{x-1} = \frac{(\sqrt{2x+3} - \sqrt{4x+1})(\sqrt{2x+3} + \sqrt{4x+1})}{(x-1)(\sqrt{2x+3} + \sqrt{4x+1})}$

$= \frac{(2x+3) - (4x+1)}{(x-1)(\sqrt{2x+3} + \sqrt{4x+1})} = \frac{-2x+2}{(x-1)(\sqrt{2x+3} + \sqrt{4x+1})} = \frac{-2(x-1)}{(x-1)(\sqrt{2x+3} + \sqrt{4x+1})} = \frac{-2}{\sqrt{2x+3} + \sqrt{4x+1}}$

$x \to 1$ のとき、

$\lim_{x \to 1} \frac{-2}{\sqrt{2x+3} + \sqrt{4x+1}} = \frac{-2}{\sqrt{5}+\sqrt{5}} = \frac{-2}{2\sqrt{5}} = -\frac{1}{\sqrt{5}}$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{\sqrt{5}}$

(2) 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2+x} - 2x)$ を計算します。

4. 解き方の手順

無理式を変形します。

$\sqrt{4x^2+x} - 2x = \frac{(\sqrt{4x^2+x} - 2x)(\sqrt{4x^2+x} + 2x)}{\sqrt{4x^2+x} + 2x} = \frac{(4x^2+x) - 4x^2}{\sqrt{4x^2+x} + 2x} = \frac{x}{\sqrt{4x^2+x} + 2x} = \frac{x}{\sqrt{x^2(4+\frac{1}{x})} + 2x} = \frac{x}{x\sqrt{4+\frac{1}{x}} + 2x} = \frac{x}{x(\sqrt{4+\frac{1}{x}} + 2)} = \frac{1}{\sqrt{4+\frac{1}{x}} + 2}$

$x \to \infty$ のとき、 $\frac{1}{x} \to 0$ なので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{4+\frac{1}{x}} + 2} = \frac{1}{\sqrt{4+0} + 2} = \frac{1}{2+2} = \frac{1}{4}$

5. 最終的な答え

$\frac{1}{4}$

(3) 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin{3x}}{\sin{5x}}$ を計算します。

6. 解き方の手順

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin{x}}{x} = 1$ を利用します。

$\frac{\sin{3x}}{\sin{5x}} = \frac{\sin{3x}}{3x} \cdot \frac{5x}{\sin{5x}} \cdot \frac{3x}{5x} = \frac{\sin{3x}}{3x} \cdot \frac{5x}{\sin{5x}} \cdot \frac{3}{5}$

$x \to 0$ のとき、 $3x \to 0$ かつ $5x \to 0$ なので、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin{3x}}{\sin{5x}} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin{3x}}{3x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{5x}{\sin{5x}} \cdot \frac{3}{5} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{5}$

7. 最終的な答え

$\frac{3}{5}$

(4) 問題の内容

$\lim_{x \to 0} (1+3x)^{\frac{2}{x}}$ を計算します。

8. 解き方の手順

$y = (1+3x)^{\frac{2}{x}}$ とおき、対数をとります。

$\log{y} = \log{(1+3x)^{\frac{2}{x}}} = \frac{2}{x} \log{(1+3x)}$

$\lim_{x \to 0} \frac{2\log{(1+3x)}}{x}$ は $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を利用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{2\log{(1+3x)}}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \frac{3}{1+3x}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{6}{1+3x} = \frac{6}{1+0} = 6$

$\lim_{x \to 0} \log{y} = 6$ なので、 $\lim_{x \to 0} y = e^6$

9. 最終的な答え

$e^6$

(5) 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan^{-1}{x} - x}{x^3}$ を計算します。

1

0. 解き方の手順

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan^{-1}{x} - x}{x^3}$ は $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を利用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan^{-1}{x} - x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1+x^2} - 1}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1-(1+x^2)}{1+x^2}}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{-x^2}{3x^2(1+x^2)} = \lim_{x \to 0} \frac{-1}{3(1+x^2)} = \frac{-1}{3(1+0)} = -\frac{1}{3}$

1

1. 最終的な答え

$-\frac{1}{3}$

**問題３**

(1) 問題の内容

$y = (x^3+3x+9)^{10}$ の導関数を求めます。

1

2. 解き方の手順

合成関数の微分を利用します。

$\frac{dy}{dx} = 10(x^3+3x+9)^9 \cdot (3x^2+3) = 30(x^2+1)(x^3+3x+9)^9$

1

3. 最終的な答え

$30(x^2+1)(x^3+3x+9)^9$

(2) 問題の内容

$y = e^{2x}\sin{3x}$ の導関数を求めます。

1

4. 解き方の手順

積の微分を利用します。

$\frac{dy}{dx} = 2e^{2x}\sin{3x} + e^{2x}(3\cos{3x}) = e^{2x}(2\sin{3x} + 3\cos{3x})$

1

5. 最終的な答え

$e^{2x}(2\sin{3x} + 3\cos{3x})$

(3) 問題の内容

$y = \frac{2x+1}{x^2+8x+4}$ の導関数を求めます。

1

6. 解き方の手順

商の微分を利用します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{2(x^2+8x+4) - (2x+1)(2x+8)}{(x^2+8x+4)^2} = \frac{2x^2+16x+8 - (4x^2+18x+8)}{(x^2+8x+4)^2} = \frac{-2x^2-2x}{(x^2+8x+4)^2} = \frac{-2x(x+1)}{(x^2+8x+4)^2}$

1

7. 最終的な答え

$\frac{-2x(x+1)}{(x^2+8x+4)^2}$

(4) 問題の内容

$y = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$ の導関数を求めます。

1

8. 解き方の手順

合成関数の微分を利用します。

$y = (x^2+1)^{-\frac{1}{2}}$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2}(x^2+1)^{-\frac{3}{2}} \cdot 2x = -x(x^2+1)^{-\frac{3}{2}} = \frac{-x}{(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}$

1

9. 最終的な答え

$\frac{-x}{(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}$

(5) 問題の内容

$y = \log{(\log{(x^2+9)})}$ の導関数を求めます。

2

0. 解き方の手順

合成関数の微分を利用します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\log{(x^2+9)}} \cdot \frac{1}{x^2+9} \cdot 2x = \frac{2x}{(x^2+9)\log{(x^2+9)}}$

2

1. 最終的な答え

$\frac{2x}{(x^2+9)\log{(x^2+9)}}$

(6) 問題の内容

$y = \tan^2{x}$ の導関数を求めます。

2

2. 解き方の手順

合成関数の微分を利用します。

$\frac{dy}{dx} = 2\tan{x} \cdot \sec^2{x}$

2

3. 最終的な答え

$2\tan{x} \sec^2{x}$

(7) 問題の内容

$y = \cos^3{\sqrt{x}}$ の導関数を求めます。

2

4. 解き方の手順

合成関数の微分を利用します。

$\frac{dy}{dx} = 3\cos^2{\sqrt{x}} \cdot (-\sin{\sqrt{x}}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = -\frac{3\cos^2{\sqrt{x}}\sin{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}$

2

5. 最終的な答え

$-\frac{3\cos^2{\sqrt{x}}\sin{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}$

(8) 問題の内容

$y = \sin^{-1}{(x^2)}$ の導関数を求めます。

2

6. 解き方の手順

合成関数の微分を利用します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-(x^2)^2}} \cdot 2x = \frac{2x}{\sqrt{1-x^4}}$

2

7. 最終的な答え

$\frac{2x}{\sqrt{1-x^4}}$

(9) 問題の内容

$y = x^{\frac{1}{x}}$ の導関数を求めます。

2

8. 解き方の手順

両辺の対数をとります。

$\log{y} = \frac{1}{x}\log{x}$

両辺を微分します。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x^2} \log{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1-\log{x}}{x^2}$

$\frac{dy}{dx} = y \cdot \frac{1-\log{x}}{x^2} = x^{\frac{1}{x}} \cdot \frac{1-\log{x}}{x^2}$

2

9. 最終的な答え

$x^{\frac{1}{x}} \cdot \frac{1-\log{x}}{x^2}$