はい、承知いたしました。以下の問題と解答を示します。

解析学極限導関数微分合成関数積の微分商の微分ロピタルの定理
2025/7/9
はい、承知いたしました。以下の問題と解答を示します。
**問題2**
次の極限を計算せよ。
(1) limx12x+34x+1x1\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{2x+3} - \sqrt{4x+1}}{x-1}
(2) limx(4x2+x2x)\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2+x} - 2x)
(3) limx0sin3xsin5x\lim_{x \to 0} \frac{\sin{3x}}{\sin{5x}}
(4) limx0(1+3x)2x\lim_{x \to 0} (1+3x)^{\frac{2}{x}}
(5) limx0tan1xxx3\lim_{x \to 0} \frac{\tan^{-1}{x} - x}{x^3}
**問題3**
次の関数の導関数を求めよ。
(1) y=(x3+3x+9)10y = (x^3+3x+9)^{10}
(2) y=e2xsin3xy = e^{2x}\sin{3x}
(3) y=2x+1x2+8x+4y = \frac{2x+1}{x^2+8x+4}
(4) y=1x2+1y = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}
(5) y=log(log(x2+9))y = \log{(\log{(x^2+9)})}
(6) y=tan2xy = \tan^2{x}
(7) y=cos3xy = \cos^3{\sqrt{x}}
(8) y=sin1(x2)y = \sin^{-1}{(x^2)}
(9) y=x1xy = x^{\frac{1}{x}}
**解答**
**問題2**
(1) 問題の内容
limx12x+34x+1x1\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{2x+3} - \sqrt{4x+1}}{x-1} を計算します。

2. 解き方の手順

分子を有理化します。
2x+34x+1x1=(2x+34x+1)(2x+3+4x+1)(x1)(2x+3+4x+1)\frac{\sqrt{2x+3} - \sqrt{4x+1}}{x-1} = \frac{(\sqrt{2x+3} - \sqrt{4x+1})(\sqrt{2x+3} + \sqrt{4x+1})}{(x-1)(\sqrt{2x+3} + \sqrt{4x+1})}
=(2x+3)(4x+1)(x1)(2x+3+4x+1)=2x+2(x1)(2x+3+4x+1)=2(x1)(x1)(2x+3+4x+1)=22x+3+4x+1= \frac{(2x+3) - (4x+1)}{(x-1)(\sqrt{2x+3} + \sqrt{4x+1})} = \frac{-2x+2}{(x-1)(\sqrt{2x+3} + \sqrt{4x+1})} = \frac{-2(x-1)}{(x-1)(\sqrt{2x+3} + \sqrt{4x+1})} = \frac{-2}{\sqrt{2x+3} + \sqrt{4x+1}}
x1x \to 1 のとき、
limx122x+3+4x+1=25+5=225=15\lim_{x \to 1} \frac{-2}{\sqrt{2x+3} + \sqrt{4x+1}} = \frac{-2}{\sqrt{5}+\sqrt{5}} = \frac{-2}{2\sqrt{5}} = -\frac{1}{\sqrt{5}}

3. 最終的な答え

15-\frac{1}{\sqrt{5}}
(2) 問題の内容
limx(4x2+x2x)\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2+x} - 2x) を計算します。

4. 解き方の手順

無理式を変形します。
4x2+x2x=(4x2+x2x)(4x2+x+2x)4x2+x+2x=(4x2+x)4x24x2+x+2x=x4x2+x+2x=xx2(4+1x)+2x=xx4+1x+2x=xx(4+1x+2)=14+1x+2\sqrt{4x^2+x} - 2x = \frac{(\sqrt{4x^2+x} - 2x)(\sqrt{4x^2+x} + 2x)}{\sqrt{4x^2+x} + 2x} = \frac{(4x^2+x) - 4x^2}{\sqrt{4x^2+x} + 2x} = \frac{x}{\sqrt{4x^2+x} + 2x} = \frac{x}{\sqrt{x^2(4+\frac{1}{x})} + 2x} = \frac{x}{x\sqrt{4+\frac{1}{x}} + 2x} = \frac{x}{x(\sqrt{4+\frac{1}{x}} + 2)} = \frac{1}{\sqrt{4+\frac{1}{x}} + 2}
xx \to \infty のとき、 1x0\frac{1}{x} \to 0 なので、
limx14+1x+2=14+0+2=12+2=14\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{4+\frac{1}{x}} + 2} = \frac{1}{\sqrt{4+0} + 2} = \frac{1}{2+2} = \frac{1}{4}

5. 最終的な答え

14\frac{1}{4}
(3) 問題の内容
limx0sin3xsin5x\lim_{x \to 0} \frac{\sin{3x}}{\sin{5x}} を計算します。

6. 解き方の手順

limx0sinxx=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin{x}}{x} = 1 を利用します。
sin3xsin5x=sin3x3x5xsin5x3x5x=sin3x3x5xsin5x35\frac{\sin{3x}}{\sin{5x}} = \frac{\sin{3x}}{3x} \cdot \frac{5x}{\sin{5x}} \cdot \frac{3x}{5x} = \frac{\sin{3x}}{3x} \cdot \frac{5x}{\sin{5x}} \cdot \frac{3}{5}
x0x \to 0 のとき、 3x03x \to 0 かつ 5x05x \to 0 なので、
limx0sin3xsin5x=limx0sin3x3xlimx05xsin5x35=1135=35\lim_{x \to 0} \frac{\sin{3x}}{\sin{5x}} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin{3x}}{3x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{5x}{\sin{5x}} \cdot \frac{3}{5} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{5}

7. 最終的な答え

35\frac{3}{5}
(4) 問題の内容
limx0(1+3x)2x\lim_{x \to 0} (1+3x)^{\frac{2}{x}} を計算します。

8. 解き方の手順

y=(1+3x)2xy = (1+3x)^{\frac{2}{x}} とおき、対数をとります。
logy=log(1+3x)2x=2xlog(1+3x)\log{y} = \log{(1+3x)^{\frac{2}{x}}} = \frac{2}{x} \log{(1+3x)}
limx02log(1+3x)x\lim_{x \to 0} \frac{2\log{(1+3x)}}{x}00\frac{0}{0} の不定形なので、ロピタルの定理を利用します。
limx02log(1+3x)x=limx0231+3x1=limx061+3x=61+0=6\lim_{x \to 0} \frac{2\log{(1+3x)}}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \frac{3}{1+3x}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{6}{1+3x} = \frac{6}{1+0} = 6
limx0logy=6\lim_{x \to 0} \log{y} = 6 なので、 limx0y=e6\lim_{x \to 0} y = e^6

9. 最終的な答え

e6e^6
(5) 問題の内容
limx0tan1xxx3\lim_{x \to 0} \frac{\tan^{-1}{x} - x}{x^3} を計算します。
1

0. 解き方の手順

limx0tan1xxx3\lim_{x \to 0} \frac{\tan^{-1}{x} - x}{x^3}00\frac{0}{0} の不定形なので、ロピタルの定理を利用します。
limx0tan1xxx3=limx011+x213x2=limx01(1+x2)1+x23x2=limx0x23x2(1+x2)=limx013(1+x2)=13(1+0)=13\lim_{x \to 0} \frac{\tan^{-1}{x} - x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1+x^2} - 1}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1-(1+x^2)}{1+x^2}}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{-x^2}{3x^2(1+x^2)} = \lim_{x \to 0} \frac{-1}{3(1+x^2)} = \frac{-1}{3(1+0)} = -\frac{1}{3}
1

1. 最終的な答え

13-\frac{1}{3}
**問題3**
(1) 問題の内容
y=(x3+3x+9)10y = (x^3+3x+9)^{10} の導関数を求めます。
1

2. 解き方の手順

合成関数の微分を利用します。
dydx=10(x3+3x+9)9(3x2+3)=30(x2+1)(x3+3x+9)9\frac{dy}{dx} = 10(x^3+3x+9)^9 \cdot (3x^2+3) = 30(x^2+1)(x^3+3x+9)^9
1

3. 最終的な答え

30(x2+1)(x3+3x+9)930(x^2+1)(x^3+3x+9)^9
(2) 問題の内容
y=e2xsin3xy = e^{2x}\sin{3x} の導関数を求めます。
1

4. 解き方の手順

積の微分を利用します。
dydx=2e2xsin3x+e2x(3cos3x)=e2x(2sin3x+3cos3x)\frac{dy}{dx} = 2e^{2x}\sin{3x} + e^{2x}(3\cos{3x}) = e^{2x}(2\sin{3x} + 3\cos{3x})
1

5. 最終的な答え

e2x(2sin3x+3cos3x)e^{2x}(2\sin{3x} + 3\cos{3x})
(3) 問題の内容
y=2x+1x2+8x+4y = \frac{2x+1}{x^2+8x+4} の導関数を求めます。
1

6. 解き方の手順

商の微分を利用します。
dydx=2(x2+8x+4)(2x+1)(2x+8)(x2+8x+4)2=2x2+16x+8(4x2+18x+8)(x2+8x+4)2=2x22x(x2+8x+4)2=2x(x+1)(x2+8x+4)2\frac{dy}{dx} = \frac{2(x^2+8x+4) - (2x+1)(2x+8)}{(x^2+8x+4)^2} = \frac{2x^2+16x+8 - (4x^2+18x+8)}{(x^2+8x+4)^2} = \frac{-2x^2-2x}{(x^2+8x+4)^2} = \frac{-2x(x+1)}{(x^2+8x+4)^2}
1

7. 最終的な答え

2x(x+1)(x2+8x+4)2\frac{-2x(x+1)}{(x^2+8x+4)^2}
(4) 問題の内容
y=1x2+1y = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} の導関数を求めます。
1

8. 解き方の手順

合成関数の微分を利用します。
y=(x2+1)12y = (x^2+1)^{-\frac{1}{2}}
dydx=12(x2+1)322x=x(x2+1)32=x(x2+1)32\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2}(x^2+1)^{-\frac{3}{2}} \cdot 2x = -x(x^2+1)^{-\frac{3}{2}} = \frac{-x}{(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}
1

9. 最終的な答え

x(x2+1)32\frac{-x}{(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}
(5) 問題の内容
y=log(log(x2+9))y = \log{(\log{(x^2+9)})} の導関数を求めます。
2

0. 解き方の手順

合成関数の微分を利用します。
dydx=1log(x2+9)1x2+92x=2x(x2+9)log(x2+9)\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\log{(x^2+9)}} \cdot \frac{1}{x^2+9} \cdot 2x = \frac{2x}{(x^2+9)\log{(x^2+9)}}
2

1. 最終的な答え

2x(x2+9)log(x2+9)\frac{2x}{(x^2+9)\log{(x^2+9)}}
(6) 問題の内容
y=tan2xy = \tan^2{x} の導関数を求めます。
2

2. 解き方の手順

合成関数の微分を利用します。
dydx=2tanxsec2x\frac{dy}{dx} = 2\tan{x} \cdot \sec^2{x}
2

3. 最終的な答え

2tanxsec2x2\tan{x} \sec^2{x}
(7) 問題の内容
y=cos3xy = \cos^3{\sqrt{x}} の導関数を求めます。
2

4. 解き方の手順

合成関数の微分を利用します。
dydx=3cos2x(sinx)12x=3cos2xsinx2x\frac{dy}{dx} = 3\cos^2{\sqrt{x}} \cdot (-\sin{\sqrt{x}}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = -\frac{3\cos^2{\sqrt{x}}\sin{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}
2

5. 最終的な答え

3cos2xsinx2x-\frac{3\cos^2{\sqrt{x}}\sin{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}
(8) 問題の内容
y=sin1(x2)y = \sin^{-1}{(x^2)} の導関数を求めます。
2

6. 解き方の手順

合成関数の微分を利用します。
dydx=11(x2)22x=2x1x4\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-(x^2)^2}} \cdot 2x = \frac{2x}{\sqrt{1-x^4}}
2

7. 最終的な答え

2x1x4\frac{2x}{\sqrt{1-x^4}}
(9) 問題の内容
y=x1xy = x^{\frac{1}{x}} の導関数を求めます。
2

8. 解き方の手順

両辺の対数をとります。
logy=1xlogx\log{y} = \frac{1}{x}\log{x}
両辺を微分します。
1ydydx=1x2logx+1x1x=1logxx2\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x^2} \log{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1-\log{x}}{x^2}
dydx=y1logxx2=x1x1logxx2\frac{dy}{dx} = y \cdot \frac{1-\log{x}}{x^2} = x^{\frac{1}{x}} \cdot \frac{1-\log{x}}{x^2}
2

9. 最終的な答え

x1x1logxx2x^{\frac{1}{x}} \cdot \frac{1-\log{x}}{x^2}

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