$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{2x+3} - \sqrt{4x+1}}{x-1}$ を計算します。

解析学極限関数の極限ロピタルの定理三角関数
2025/7/9
## (1) の問題

1. 問題の内容

limx12x+34x+1x1\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{2x+3} - \sqrt{4x+1}}{x-1} を計算します。

2. 解き方の手順

分子に共役な式を掛けて、不定形を解消します。
limx12x+34x+1x1=limx1(2x+34x+1)(2x+3+4x+1)(x1)(2x+3+4x+1)\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{2x+3} - \sqrt{4x+1}}{x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{2x+3} - \sqrt{4x+1})(\sqrt{2x+3} + \sqrt{4x+1})}{(x-1)(\sqrt{2x+3} + \sqrt{4x+1})}
=limx1(2x+3)(4x+1)(x1)(2x+3+4x+1)=limx12x+2(x1)(2x+3+4x+1)= \lim_{x \to 1} \frac{(2x+3) - (4x+1)}{(x-1)(\sqrt{2x+3} + \sqrt{4x+1})} = \lim_{x \to 1} \frac{-2x+2}{(x-1)(\sqrt{2x+3} + \sqrt{4x+1})}
=limx12(x1)(x1)(2x+3+4x+1)=limx122x+3+4x+1= \lim_{x \to 1} \frac{-2(x-1)}{(x-1)(\sqrt{2x+3} + \sqrt{4x+1})} = \lim_{x \to 1} \frac{-2}{\sqrt{2x+3} + \sqrt{4x+1}}
x1x \to 1 のとき、2x+35\sqrt{2x+3} \to \sqrt{5}4x+15\sqrt{4x+1} \to \sqrt{5}なので、
limx122x+3+4x+1=25+5=225=15\lim_{x \to 1} \frac{-2}{\sqrt{2x+3} + \sqrt{4x+1}} = \frac{-2}{\sqrt{5} + \sqrt{5}} = \frac{-2}{2\sqrt{5}} = -\frac{1}{\sqrt{5}}

3. 最終的な答え

15-\frac{1}{\sqrt{5}}
## (2) の問題

1. 問題の内容

limx(4x2+x2x)\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2 + x} - 2x) を計算します。

2. 解き方の手順

分子に共役な式を掛けて、不定形を解消します。
limx(4x2+x2x)=limx(4x2+x2x)(4x2+x+2x)4x2+x+2x\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2 + x} - 2x) = \lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{4x^2 + x} - 2x)(\sqrt{4x^2 + x} + 2x)}{\sqrt{4x^2 + x} + 2x}
=limx(4x2+x)4x24x2+x+2x=limxx4x2+x+2x= \lim_{x \to \infty} \frac{(4x^2 + x) - 4x^2}{\sqrt{4x^2 + x} + 2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{4x^2 + x} + 2x}
xx で割ります。
=limx14+1x+2=14+2=12+2=14= \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{4 + \frac{1}{x}} + 2} = \frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}

3. 最終的な答え

14\frac{1}{4}
## (3) の問題

1. 問題の内容

limx0sin3xsin5x\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\sin 5x} を計算します。

2. 解き方の手順

limx0sinxx=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 を利用します。
limx0sin3xsin5x=limx0sin3x3x5xsin5x3x5x=limx0sin3x3xlimx05xsin5xlimx035\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\sin 5x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \cdot \frac{5x}{\sin 5x} \cdot \frac{3x}{5x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{5x}{\sin 5x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{3}{5}
=1135=35= 1 \cdot 1 \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{5}

3. 最終的な答え

35\frac{3}{5}
## (4) の問題

1. 問題の内容

limx0(1+3x)2x\lim_{x \to 0} (1 + 3x)^{\frac{2}{x}} を計算します。

2. 解き方の手順

limx0(1+x)1x=e\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e を利用します。
limx0(1+3x)2x=limx0[(1+3x)13x]6=e6\lim_{x \to 0} (1 + 3x)^{\frac{2}{x}} = \lim_{x \to 0} [(1 + 3x)^{\frac{1}{3x}}]^{6} = e^6

3. 最終的な答え

e6e^6
## (5) の問題

1. 問題の内容

limx0tan1xxx3\lim_{x \to 0} \frac{\tan^{-1} x - x}{x^3} を計算します。

2. 解き方の手順

ロピタルの定理を適用します。tan1x\tan^{-1} x の微分は 11+x2\frac{1}{1+x^2} です。
limx0tan1xxx3=limx011+x213x2=limx01(1+x2)3x2(1+x2)=limx0x23x2(1+x2)=limx013(1+x2)=13\lim_{x \to 0} \frac{\tan^{-1} x - x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1+x^2} - 1}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - (1+x^2)}{3x^2(1+x^2)} = \lim_{x \to 0} \frac{-x^2}{3x^2(1+x^2)} = \lim_{x \to 0} \frac{-1}{3(1+x^2)} = -\frac{1}{3}

3. 最終的な答え

13-\frac{1}{3}

「解析学」の関連問題

問題1は、次の関数を微分せよという問題です。具体的には、 a) $f(x) = \log \left( \frac{2x}{x^2+1} \right)$ c) $g(x) = \log (2x)$ ...

微分対数関数合成関数の微分
2025/7/9

3次方程式 $2x^3 + 3x^2 - 12x - 2 = 0$ の実数解の個数と、それぞれの解の符号を調べます。

3次方程式実数解増減導関数極値解の符号
2025/7/9

与えられた陰関数 $y = y(x)$ について、指定された条件における $\frac{d^2y}{dx^2}$ の値を求める問題です。具体的には、以下の3つの小問があります。 (1) $x^2 - ...

陰関数微分二階微分
2025/7/9

関数 $f(x, y) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 + y - \frac{1}{5}y^5$ が与えられています。 (1) $f(x, y)$ の $x$ に関する偏微分 $\fr...

偏微分臨界点ヘッセ行列極値
2025/7/9

与えられた関数 $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy + 9$ について、以下の問いに答える。 (1) $f(x, y)$ は点 $(0, 0)$ で極値をとるかどうかを判定し、証明す...

多変数関数極値偏微分ヘッセ行列
2025/7/9

与えられた関数 $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy + 9$ について、以下の問いに答えます。 (1) $f(x, y)$ は点 $(0, 0)$ で極値をとるかどうかを証明付きで答...

多変数関数偏微分極値停留点ヘッセ行列
2025/7/9

与えられた関数 $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy + 9$ について、次の問いに答える。 (1) $f(x, y)$ は $(0, 0)$ で極値をとるかどうかを証明を付けて答える...

多変数関数偏微分極値ヘッセ行列
2025/7/9

関数 $f: X \rightarrow Y$ と部分集合 $A, B \subset X$ および $C, D \subset Y$ が与えられているとき、以下の2つの包含関係の逆の包含関係が一般的...

写像集合逆像包含関係反例
2025/7/9

問題は、$u = u(x, y)$ かつ $x = r \cos\theta$, $y = r \sin\theta$ であるとき、以下の問いに答える問題です。 (1) $\frac{\partial...

偏微分合成関数の微分座標変換
2025/7/9

この問題は、三角関数の値を計算したり、三角関数を含む式を簡単にしたり、三角関数の方程式や不等式を解いたり、三角関数を含む式の最大値と最小値を求める問題です。具体的には、以下の8つの小問があります。 (...

三角関数三角関数の値三角関数の計算三角関数の最大最小三角関数の方程式三角関数の不等式
2025/7/9