$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{2x+3} - \sqrt{4x+1}}{x-1}$ を計算します。

## (1) の問題

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{2x+3} - \sqrt{4x+1}}{x-1}$ を計算します。

2. 解き方の手順

分子に共役な式を掛けて、不定形を解消します。

$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{2x+3} - \sqrt{4x+1}}{x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{2x+3} - \sqrt{4x+1})(\sqrt{2x+3} + \sqrt{4x+1})}{(x-1)(\sqrt{2x+3} + \sqrt{4x+1})}$

$= \lim_{x \to 1} \frac{(2x+3) - (4x+1)}{(x-1)(\sqrt{2x+3} + \sqrt{4x+1})} = \lim_{x \to 1} \frac{-2x+2}{(x-1)(\sqrt{2x+3} + \sqrt{4x+1})}$

$= \lim_{x \to 1} \frac{-2(x-1)}{(x-1)(\sqrt{2x+3} + \sqrt{4x+1})} = \lim_{x \to 1} \frac{-2}{\sqrt{2x+3} + \sqrt{4x+1}}$

$x \to 1$ のとき、$\sqrt{2x+3} \to \sqrt{5}$、$\sqrt{4x+1} \to \sqrt{5}$なので、

$\lim_{x \to 1} \frac{-2}{\sqrt{2x+3} + \sqrt{4x+1}} = \frac{-2}{\sqrt{5} + \sqrt{5}} = \frac{-2}{2\sqrt{5}} = -\frac{1}{\sqrt{5}}$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{\sqrt{5}}$

## (2) の問題

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2 + x} - 2x)$ を計算します。

2. 解き方の手順

分子に共役な式を掛けて、不定形を解消します。

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2 + x} - 2x) = \lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{4x^2 + x} - 2x)(\sqrt{4x^2 + x} + 2x)}{\sqrt{4x^2 + x} + 2x}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{(4x^2 + x) - 4x^2}{\sqrt{4x^2 + x} + 2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{4x^2 + x} + 2x}$

$x$ で割ります。

$= \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{4 + \frac{1}{x}} + 2} = \frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{4}$

## (3) の問題

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\sin 5x}$ を計算します。

2. 解き方の手順

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を利用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\sin 5x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \cdot \frac{5x}{\sin 5x} \cdot \frac{3x}{5x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{5x}{\sin 5x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{3}{5}$

$= 1 \cdot 1 \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{5}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{5}$

## (4) の問題

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} (1 + 3x)^{\frac{2}{x}}$ を計算します。

2. 解き方の手順

$\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e$ を利用します。

$\lim_{x \to 0} (1 + 3x)^{\frac{2}{x}} = \lim_{x \to 0} [(1 + 3x)^{\frac{1}{3x}}]^{6} = e^6$

3. 最終的な答え

$e^6$

## (5) の問題

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan^{-1} x - x}{x^3}$ を計算します。

2. 解き方の手順

ロピタルの定理を適用します。$\tan^{-1} x$ の微分は $\frac{1}{1+x^2}$ です。

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan^{-1} x - x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1+x^2} - 1}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - (1+x^2)}{3x^2(1+x^2)} = \lim_{x \to 0} \frac{-x^2}{3x^2(1+x^2)} = \lim_{x \to 0} \frac{-1}{3(1+x^2)} = -\frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{3}$