$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{2x+3} - \sqrt{4x+1}}{x-1}$ を計算します。

解析学極限関数の極限ロピタルの定理三角関数
2025/7/9
## (1) の問題

1. 問題の内容

limx12x+34x+1x1\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{2x+3} - \sqrt{4x+1}}{x-1} を計算します。

2. 解き方の手順

分子に共役な式を掛けて、不定形を解消します。
limx12x+34x+1x1=limx1(2x+34x+1)(2x+3+4x+1)(x1)(2x+3+4x+1)\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{2x+3} - \sqrt{4x+1}}{x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{2x+3} - \sqrt{4x+1})(\sqrt{2x+3} + \sqrt{4x+1})}{(x-1)(\sqrt{2x+3} + \sqrt{4x+1})}
=limx1(2x+3)(4x+1)(x1)(2x+3+4x+1)=limx12x+2(x1)(2x+3+4x+1)= \lim_{x \to 1} \frac{(2x+3) - (4x+1)}{(x-1)(\sqrt{2x+3} + \sqrt{4x+1})} = \lim_{x \to 1} \frac{-2x+2}{(x-1)(\sqrt{2x+3} + \sqrt{4x+1})}
=limx12(x1)(x1)(2x+3+4x+1)=limx122x+3+4x+1= \lim_{x \to 1} \frac{-2(x-1)}{(x-1)(\sqrt{2x+3} + \sqrt{4x+1})} = \lim_{x \to 1} \frac{-2}{\sqrt{2x+3} + \sqrt{4x+1}}
x1x \to 1 のとき、2x+35\sqrt{2x+3} \to \sqrt{5}4x+15\sqrt{4x+1} \to \sqrt{5}なので、
limx122x+3+4x+1=25+5=225=15\lim_{x \to 1} \frac{-2}{\sqrt{2x+3} + \sqrt{4x+1}} = \frac{-2}{\sqrt{5} + \sqrt{5}} = \frac{-2}{2\sqrt{5}} = -\frac{1}{\sqrt{5}}

3. 最終的な答え

15-\frac{1}{\sqrt{5}}
## (2) の問題

1. 問題の内容

limx(4x2+x2x)\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2 + x} - 2x) を計算します。

2. 解き方の手順

分子に共役な式を掛けて、不定形を解消します。
limx(4x2+x2x)=limx(4x2+x2x)(4x2+x+2x)4x2+x+2x\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2 + x} - 2x) = \lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{4x^2 + x} - 2x)(\sqrt{4x^2 + x} + 2x)}{\sqrt{4x^2 + x} + 2x}
=limx(4x2+x)4x24x2+x+2x=limxx4x2+x+2x= \lim_{x \to \infty} \frac{(4x^2 + x) - 4x^2}{\sqrt{4x^2 + x} + 2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{4x^2 + x} + 2x}
xx で割ります。
=limx14+1x+2=14+2=12+2=14= \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{4 + \frac{1}{x}} + 2} = \frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}

3. 最終的な答え

14\frac{1}{4}
## (3) の問題

1. 問題の内容

limx0sin3xsin5x\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\sin 5x} を計算します。

2. 解き方の手順

limx0sinxx=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 を利用します。
limx0sin3xsin5x=limx0sin3x3x5xsin5x3x5x=limx0sin3x3xlimx05xsin5xlimx035\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\sin 5x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \cdot \frac{5x}{\sin 5x} \cdot \frac{3x}{5x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{5x}{\sin 5x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{3}{5}
=1135=35= 1 \cdot 1 \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{5}

3. 最終的な答え

35\frac{3}{5}
## (4) の問題

1. 問題の内容

limx0(1+3x)2x\lim_{x \to 0} (1 + 3x)^{\frac{2}{x}} を計算します。

2. 解き方の手順

limx0(1+x)1x=e\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e を利用します。
limx0(1+3x)2x=limx0[(1+3x)13x]6=e6\lim_{x \to 0} (1 + 3x)^{\frac{2}{x}} = \lim_{x \to 0} [(1 + 3x)^{\frac{1}{3x}}]^{6} = e^6

3. 最終的な答え

e6e^6
## (5) の問題

1. 問題の内容

limx0tan1xxx3\lim_{x \to 0} \frac{\tan^{-1} x - x}{x^3} を計算します。

2. 解き方の手順

ロピタルの定理を適用します。tan1x\tan^{-1} x の微分は 11+x2\frac{1}{1+x^2} です。
limx0tan1xxx3=limx011+x213x2=limx01(1+x2)3x2(1+x2)=limx0x23x2(1+x2)=limx013(1+x2)=13\lim_{x \to 0} \frac{\tan^{-1} x - x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1+x^2} - 1}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - (1+x^2)}{3x^2(1+x^2)} = \lim_{x \to 0} \frac{-x^2}{3x^2(1+x^2)} = \lim_{x \to 0} \frac{-1}{3(1+x^2)} = -\frac{1}{3}

3. 最終的な答え

13-\frac{1}{3}

「解析学」の関連問題

定積分 $\int_{0}^{4} |(x-4)(x-1)^3| dx$ の値を求めます。

定積分絶対値積分
2025/7/9

定積分 $\int_{0}^{4} |(x-4)(x-1)| dx$ を計算する問題です。

定積分絶対値積分計算
2025/7/9

関数 $y = x + \sin x$ の区間 $I = [0, 2\pi]$ における増減を調べる問題です。微分 $y'$ を求め、$y' = 0$ となる $x$ の値を求め、増減表を作成して関数...

微分関数の増減三角関数増減表単調増加
2025/7/9

媒介変数 $t$ を用いて、$x(t) = 3\cos t + 2\cos\frac{3}{2}t$、$y(t) = 3\sin t - 2\sin\frac{3}{2}t$ と表される曲線 $C$ ...

媒介変数微分接線三角関数
2025/7/9

周期 $2\pi$ の関数 $f(x) = |\sin x|$ ($-\pi \le x < \pi$) のフーリエ級数を求める問題です。

フーリエ級数三角関数積分
2025/7/9

周期 $2\pi$ の関数 $f(x) = |\sin x|$ ($-\pi \le x < \pi$), $f(x+2\pi) = f(x)$ のフーリエ級数を求める。

フーリエ級数三角関数積分偶関数積和の公式
2025/7/9

関数 $f(\theta) = 2\sqrt{3}\cos^2 \theta - 2\sin \theta \cos \theta$ が与えられています。 (1) 2倍角の公式を用いて $\sin \...

三角関数最大値最小値2倍角の公式
2025/7/9

与えられた三角関数の値をそれぞれ求める問題です。具体的には、 (ア) $\sin \frac{7}{4}\pi$ (イ) $\cos \frac{2}{3}\pi$ (ウ) $\tan \frac{7...

三角関数三角比sincostanラジアン
2025/7/9

アステロイド曲線 $x = a\cos^3 t$, $y = a\sin^3 t$ ($0 \le t \le 2\pi$, $a > 0$) で囲まれた図形の面積を求めます。

積分パラメータ表示面積アステロイド
2025/7/9

問題文は、2つの関数 $f(x) = x^3 + px^2 + qx + \frac{7}{2}$ と $g(x) = x^2 + 8x + r$ について、以下の問いに答えるものです。 (1) $f...

微分極値接線積分面積
2025/7/9