与えられた9つの関数について、それぞれの導関数を求める。

解析学微分導関数合成関数積の微分商の微分
2025/7/9

1. 問題の内容

与えられた9つの関数について、それぞれの導関数を求める。

2. 解き方の手順

(1) y=(x3+3x+9)10y = (x^3 + 3x + 9)^{10}
合成関数の微分を用いる。u=x3+3x+9u = x^3 + 3x + 9 とおくと、y=u10y = u^{10}
dydx=dydududx\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
dydu=10u9\frac{dy}{du} = 10u^9
dudx=3x2+3\frac{du}{dx} = 3x^2 + 3
dydx=10(x3+3x+9)9(3x2+3)=30(x2+1)(x3+3x+9)9\frac{dy}{dx} = 10(x^3 + 3x + 9)^9(3x^2 + 3) = 30(x^2+1)(x^3+3x+9)^9
(2) y=e2xsin3xy = e^{2x} \sin 3x
積の微分法を用いる。
dydx=(e2x)sin3x+e2x(sin3x)\frac{dy}{dx} = (e^{2x})' \sin 3x + e^{2x}(\sin 3x)'
(e2x)=2e2x(e^{2x})' = 2e^{2x}
(sin3x)=3cos3x(\sin 3x)' = 3\cos 3x
dydx=2e2xsin3x+3e2xcos3x=e2x(2sin3x+3cos3x)\frac{dy}{dx} = 2e^{2x} \sin 3x + 3e^{2x} \cos 3x = e^{2x}(2\sin 3x + 3\cos 3x)
(3) y=2x+1x2+8x+4y = \frac{2x+1}{x^2+8x+4}
商の微分法を用いる。
dydx=(2x+1)(x2+8x+4)(2x+1)(x2+8x+4)(x2+8x+4)2\frac{dy}{dx} = \frac{(2x+1)'(x^2+8x+4) - (2x+1)(x^2+8x+4)'}{(x^2+8x+4)^2}
(2x+1)=2(2x+1)' = 2
(x2+8x+4)=2x+8(x^2+8x+4)' = 2x+8
dydx=2(x2+8x+4)(2x+1)(2x+8)(x2+8x+4)2\frac{dy}{dx} = \frac{2(x^2+8x+4) - (2x+1)(2x+8)}{(x^2+8x+4)^2}
dydx=2x2+16x+8(4x2+18x+8)(x2+8x+4)2\frac{dy}{dx} = \frac{2x^2+16x+8 - (4x^2+18x+8)}{(x^2+8x+4)^2}
dydx=2x22x(x2+8x+4)2=2x(x+1)(x2+8x+4)2\frac{dy}{dx} = \frac{-2x^2-2x}{(x^2+8x+4)^2} = \frac{-2x(x+1)}{(x^2+8x+4)^2}
(4) y=1x2+1=(x2+1)12y = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} = (x^2+1)^{-\frac{1}{2}}
合成関数の微分を用いる。u=x2+1u = x^2+1 とおくと、y=u12y = u^{-\frac{1}{2}}
dydx=dydududx\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
dydu=12u32\frac{dy}{du} = -\frac{1}{2}u^{-\frac{3}{2}}
dudx=2x\frac{du}{dx} = 2x
dydx=12(x2+1)32(2x)=x(x2+1)32=x(x2+1)32\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2}(x^2+1)^{-\frac{3}{2}}(2x) = -x(x^2+1)^{-\frac{3}{2}} = \frac{-x}{(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}
(5) y=log(log(x2+9))y = \log(\log(x^2+9))
合成関数の微分を用いる。u=log(x2+9)u = \log(x^2+9), v=x2+9v = x^2+9 とおくと、y=log(u)y = \log(u)
dydx=dydududvdvdx\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}
dydu=1u\frac{dy}{du} = \frac{1}{u}
dudv=1v\frac{du}{dv} = \frac{1}{v}
dvdx=2x\frac{dv}{dx} = 2x
dydx=1log(x2+9)1x2+92x=2x(x2+9)log(x2+9)\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\log(x^2+9)} \cdot \frac{1}{x^2+9} \cdot 2x = \frac{2x}{(x^2+9)\log(x^2+9)}
(6) y=tan2xy = \tan^2 x
合成関数の微分を用いる。u=tanxu = \tan x とおくと、y=u2y = u^2
dydx=dydududx\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
dydu=2u\frac{dy}{du} = 2u
dudx=1cos2x=sec2x\frac{du}{dx} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x
dydx=2tanxsec2x\frac{dy}{dx} = 2\tan x \sec^2 x
(7) y=cos3xy = \cos^3 \sqrt{x}
合成関数の微分を用いる。u=xu = \sqrt{x}, v=cosuv = \cos u とおくと、y=v3y = v^3
dydx=dydvdvdududx\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dv} \cdot \frac{dv}{du} \cdot \frac{du}{dx}
dydv=3v2\frac{dy}{dv} = 3v^2
dvdu=sinu\frac{dv}{du} = -\sin u
dudx=12x\frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}}
dydx=3cos2x(sinx)12x=3cos2xsinx2x\frac{dy}{dx} = 3\cos^2 \sqrt{x} \cdot (-\sin \sqrt{x}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = -\frac{3\cos^2 \sqrt{x} \sin \sqrt{x}}{2\sqrt{x}}
(8) y=sin1(x2)y = \sin^{-1}(x^2)
合成関数の微分を用いる。u=x2u = x^2 とおくと、y=sin1uy = \sin^{-1}u
dydx=dydududx\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
dydu=11u2\frac{dy}{du} = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}
dudx=2x\frac{du}{dx} = 2x
dydx=11(x2)22x=2x1x4\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-(x^2)^2}} \cdot 2x = \frac{2x}{\sqrt{1-x^4}}
(9) y=x1xy = x^{\frac{1}{x}}
両辺の対数を取る。
logy=1xlogx\log y = \frac{1}{x} \log x
両辺をxxで微分する。
yy=(1/x)x(logx)xx2\frac{y'}{y} = \frac{(1/x)'x - (\log x)' x}{x^2}
yy=1x2logx+1x2\frac{y'}{y} = -\frac{1}{x^2}\log x + \frac{1}{x^2}
yy=1logxx2\frac{y'}{y} = \frac{1-\log x}{x^2}
y=y1logxx2=x1x1logxx2y' = y\frac{1-\log x}{x^2} = x^{\frac{1}{x}} \frac{1-\log x}{x^2}

3. 最終的な答え

(1) 30(x2+1)(x3+3x+9)930(x^2+1)(x^3+3x+9)^9
(2) e2x(2sin3x+3cos3x)e^{2x}(2\sin 3x + 3\cos 3x)
(3) 2x(x+1)(x2+8x+4)2\frac{-2x(x+1)}{(x^2+8x+4)^2}
(4) x(x2+1)32\frac{-x}{(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}
(5) 2x(x2+9)log(x2+9)\frac{2x}{(x^2+9)\log(x^2+9)}
(6) 2tanxsec2x2\tan x \sec^2 x
(7) 3cos2xsinx2x-\frac{3\cos^2 \sqrt{x} \sin \sqrt{x}}{2\sqrt{x}}
(8) 2x1x4\frac{2x}{\sqrt{1-x^4}}
(9) x1x1logxx2x^{\frac{1}{x}} \frac{1-\log x}{x^2}

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