与えられた9つの関数について、それぞれの導関数を求める。

1. 問題の内容

与えられた9つの関数について、それぞれの導関数を求める。

2. 解き方の手順

(1) $y = (x^3 + 3x + 9)^{10}$

合成関数の微分を用いる。$u = x^3 + 3x + 9$ とおくと、$y = u^{10}$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = 10u^9$

$\frac{du}{dx} = 3x^2 + 3$

$\frac{dy}{dx} = 10(x^3 + 3x + 9)^9(3x^2 + 3) = 30(x^2+1)(x^3+3x+9)^9$

(2) $y = e^{2x} \sin 3x$

積の微分法を用いる。

$\frac{dy}{dx} = (e^{2x})' \sin 3x + e^{2x}(\sin 3x)'$

$(e^{2x})' = 2e^{2x}$

$(\sin 3x)' = 3\cos 3x$

$\frac{dy}{dx} = 2e^{2x} \sin 3x + 3e^{2x} \cos 3x = e^{2x}(2\sin 3x + 3\cos 3x)$

(3) $y = \frac{2x+1}{x^2+8x+4}$

商の微分法を用いる。

$\frac{dy}{dx} = \frac{(2x+1)'(x^2+8x+4) - (2x+1)(x^2+8x+4)'}{(x^2+8x+4)^2}$

$(2x+1)' = 2$

$(x^2+8x+4)' = 2x+8$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2(x^2+8x+4) - (2x+1)(2x+8)}{(x^2+8x+4)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2x^2+16x+8 - (4x^2+18x+8)}{(x^2+8x+4)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-2x^2-2x}{(x^2+8x+4)^2} = \frac{-2x(x+1)}{(x^2+8x+4)^2}$

(4) $y = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} = (x^2+1)^{-\frac{1}{2}}$

合成関数の微分を用いる。$u = x^2+1$ とおくと、$y = u^{-\frac{1}{2}}$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = -\frac{1}{2}u^{-\frac{3}{2}}$

$\frac{du}{dx} = 2x$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2}(x^2+1)^{-\frac{3}{2}}(2x) = -x(x^2+1)^{-\frac{3}{2}} = \frac{-x}{(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}$

(5) $y = \log(\log(x^2+9))$

合成関数の微分を用いる。$u = \log(x^2+9)$, $v = x^2+9$ とおくと、$y = \log(u)$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}$

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{u}$

$\frac{du}{dv} = \frac{1}{v}$

$\frac{dv}{dx} = 2x$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\log(x^2+9)} \cdot \frac{1}{x^2+9} \cdot 2x = \frac{2x}{(x^2+9)\log(x^2+9)}$

(6) $y = \tan^2 x$

合成関数の微分を用いる。$u = \tan x$ とおくと、$y = u^2$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = 2u$

$\frac{du}{dx} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$

$\frac{dy}{dx} = 2\tan x \sec^2 x$

(7) $y = \cos^3 \sqrt{x}$

合成関数の微分を用いる。$u = \sqrt{x}$, $v = \cos u$ とおくと、$y = v^3$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dv} \cdot \frac{dv}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{dv} = 3v^2$

$\frac{dv}{du} = -\sin u$

$\frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$\frac{dy}{dx} = 3\cos^2 \sqrt{x} \cdot (-\sin \sqrt{x}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = -\frac{3\cos^2 \sqrt{x} \sin \sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$

(8) $y = \sin^{-1}(x^2)$

合成関数の微分を用いる。$u = x^2$ とおくと、$y = \sin^{-1}u$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$

$\frac{du}{dx} = 2x$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-(x^2)^2}} \cdot 2x = \frac{2x}{\sqrt{1-x^4}}$

(9) $y = x^{\frac{1}{x}}$

両辺の対数を取る。

$\log y = \frac{1}{x} \log x$

両辺を$x$で微分する。

$\frac{y'}{y} = \frac{(1/x)'x - (\log x)' x}{x^2}$

$\frac{y'}{y} = -\frac{1}{x^2}\log x + \frac{1}{x^2}$

$\frac{y'}{y} = \frac{1-\log x}{x^2}$

$y' = y\frac{1-\log x}{x^2} = x^{\frac{1}{x}} \frac{1-\log x}{x^2}$

3. 最終的な答え

(1) $30(x^2+1)(x^3+3x+9)^9$

(2) $e^{2x}(2\sin 3x + 3\cos 3x)$

(3) $\frac{-2x(x+1)}{(x^2+8x+4)^2}$

(4) $\frac{-x}{(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}$

(5) $\frac{2x}{(x^2+9)\log(x^2+9)}$

(6) $2\tan x \sec^2 x$

(7) $-\frac{3\cos^2 \sqrt{x} \sin \sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$

(8) $\frac{2x}{\sqrt{1-x^4}}$

(9) $x^{\frac{1}{x}} \frac{1-\log x}{x^2}$