複素数平面上の点 $w$ に対して、$z = \frac{2w+1}{2w-3}$ とする。$w$ が虚軸上を動くとき、点 $z$ が描く円の中心と半径を求める。ただし、$z \neq 1$ とする。

1. 問題の内容

複素数平面上の点 $w$ に対して、$z = \frac{2w+1}{2w-3}$ とする。$w$ が虚軸上を動くとき、点 $z$ が描く円の中心と半径を求める。ただし、$z \neq 1$ とする。

2. 解き方の手順

$w$ が虚軸上を動くので、$w = ki$ （$k$ は実数）と表せる。これを $z$ の式に代入する。

$z = \frac{2ki+1}{2ki-3}$

$z$ を $x+yi$ （$x, y$ は実数）の形にするために、分母の複素共役を分子と分母にかける。

$z = \frac{(2ki+1)(2ki+3)}{(2ki-3)(2ki+3)} = \frac{4(ki)^2 + 6ki + 2ki + 3}{4(ki)^2 - 9} = \frac{-4k^2 + 3 + 8ki}{-4k^2 - 9}$

$z = \frac{-4k^2 + 3}{-4k^2 - 9} + \frac{8k}{-4k^2 - 9}i$

$x = \frac{-4k^2 + 3}{-4k^2 - 9}$

$y = \frac{8k}{-4k^2 - 9}$

$k$ を消去して $x$ と $y$ の関係式を求める。まず、$x$ と $y$ の式から $k$ を含む項と含まない項に分離することを考える。

$x = \frac{-4k^2 - 9 + 12}{-4k^2 - 9} = 1 + \frac{12}{-4k^2 - 9}$

$y = \frac{8k}{-4k^2 - 9}$

$\frac{12}{x - 1} = -4k^2 - 9$

$\frac{8k}{y} = -4k^2 - 9$

したがって、

$\frac{12}{x-1} = \frac{8k}{y}$

$k = \frac{3y}{2(x-1)}$

これを $y = \frac{8k}{-4k^2 - 9}$ に代入する。

$y = \frac{8 \cdot \frac{3y}{2(x-1)}}{-4(\frac{3y}{2(x-1)})^2 - 9}$

$y = \frac{\frac{12y}{x-1}}{-4(\frac{9y^2}{4(x-1)^2}) - 9}$

$y = \frac{\frac{12y}{x-1}}{\frac{-9y^2 - 9(x-1)^2}{(x-1)^2}}$

$y = \frac{12y(x-1)}{-9y^2 - 9(x-1)^2}$

$-9y^2 - 9(x-1)^2 = 12(x-1)$ ($y \ne 0$)

$-9y^2 - 9(x^2 - 2x + 1) = 12x - 12$

$-9y^2 - 9x^2 + 18x - 9 = 12x - 12$

$9x^2 + 9y^2 - 6x - 3 = 0$

$x^2 + y^2 - \frac{2}{3}x - \frac{1}{3} = 0$

$(x - \frac{1}{3})^2 + y^2 = \frac{1}{9} + \frac{1}{3} = \frac{4}{9}$

これは、中心 $(\frac{1}{3}, 0)$ 、半径 $\frac{2}{3}$ の円を表す。

$y=0$ のとき、$w=0$。このとき $z = -\frac{1}{3}$ であり、これは確かに円周上の点である。

3. 最終的な答え

中心：$\frac{1}{3}$

半径：$\frac{2}{3}$