2次関数 $y = x^2 + 2mx + m + 2$ のグラフがx軸に接するように、定数 $m$ の値を求め、そのときの接点の座標を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 + 2mx + m + 2$ のグラフがx軸に接するように、定数 $m$ の値を求め、そのときの接点の座標を求める。

2. 解き方の手順

与えられた2次関数がx軸に接するということは、2次方程式 $x^2 + 2mx + m + 2 = 0$ が重解を持つということである。

判別式 $D$ が $D=0$ となる条件を考える。

$D = (2m)^2 - 4(1)(m+2) = 4m^2 - 4m - 8$

$D = 0$ より、

$4m^2 - 4m - 8 = 0$

$m^2 - m - 2 = 0$

$(m - 2)(m + 1) = 0$

したがって、$m = 2$ または $m = -1$ である。

(i) $m = 2$ のとき、

$y = x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$

接点は $x = -2$ のときであり、座標は $(-2, 0)$ である。

(ii) $m = -1$ のとき、

$y = x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$

接点は $x = 1$ のときであり、座標は $(1, 0)$ である。

3. 最終的な答え

$m = 2$ のとき、接点の座標は $(-2, 0)$

$m = -1$ のとき、接点の座標は $(1, 0)$