2次式 $3x^2 - 5x + 9$ を複素数の範囲で因数分解せよ。

1. 問題の内容

2次式 $3x^2 - 5x + 9$ を複素数の範囲で因数分解せよ。

2. 解き方の手順

2次式 $ax^2 + bx + c$ の因数分解は、まず2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解を求めることから始めます。解を $\alpha, \beta$ とすると、$ax^2 + bx + c = a(x - \alpha)(x - \beta)$ と因数分解できます。

今回の問題では、$3x^2 - 5x + 9 = 0$ の解を求めます。2次方程式の解の公式を用いると、

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

ここで、$a = 3, b = -5, c = 9$ なので、

$x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 9}}{2 \cdot 3} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 108}}{6} = \frac{5 \pm \sqrt{-83}}{6} = \frac{5 \pm i\sqrt{83}}{6}$

よって、解は $\frac{5 + i\sqrt{83}}{6}$ と $\frac{5 - i\sqrt{83}}{6}$ です。

したがって、$3x^2 - 5x + 9$ の因数分解は

$3(x - \frac{5 + i\sqrt{83}}{6})(x - \frac{5 - i\sqrt{83}}{6})$

となります。

3. 最終的な答え

$3(x - \frac{5 + i\sqrt{83}}{6})(x - \frac{5 - i\sqrt{83}}{6})$