問題は、$u$が$x$と$y$の関数であり、$x = r\cos\theta$、$y = r\sin\theta$ であるとき、以下の問いに答えるものです。 (1) $\frac{\partial u}{\partial r}$ と $\frac{\partial u}{\partial \theta}$ を、$\frac{\partial u}{\partial x}$ と $\frac{\partial u}{\partial y}$ で表しなさい。 (2) $\frac{\partial u}{\partial x}$ と $\frac{\partial u}{\partial y}$ を、$\frac{\partial u}{\partial r}$ と $\frac{\partial u}{\partial \theta}$ で表しなさい。 (3) $\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^2$ と $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$ を、$\frac{\partial u}{\partial r}$ と $\frac{\partial u}{\partial \theta}$ で表しなさい。
2025/7/9
1. 問題の内容
問題は、がとの関数であり、、 であるとき、以下の問いに答えるものです。
(1) と を、 と で表しなさい。
(2) と を、 と で表しなさい。
(3) と を、 と で表しなさい。
2. 解き方の手順
(1) 連鎖律を用いる。
(2) (1)の結果から、 と について解く。
よって、
(3) (2)の結果を用いて計算する。
3. 最終的な答え
(1)
(2)
(3)