問題は、$u$が$x$と$y$の関数であり、$x = r\cos\theta$、$y = r\sin\theta$ であるとき、以下の問いに答えるものです。 (1) $\frac{\partial u}{\partial r}$ と $\frac{\partial u}{\partial \theta}$ を、$\frac{\partial u}{\partial x}$ と $\frac{\partial u}{\partial y}$ で表しなさい。 (2) $\frac{\partial u}{\partial x}$ と $\frac{\partial u}{\partial y}$ を、$\frac{\partial u}{\partial r}$ と $\frac{\partial u}{\partial \theta}$ で表しなさい。 (3) $\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^2$ と $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$ を、$\frac{\partial u}{\partial r}$ と $\frac{\partial u}{\partial \theta}$ で表しなさい。

解析学偏微分連鎖律座標変換
2025/7/9

1. 問題の内容

問題は、uuxxyyの関数であり、x=rcosθx = r\cos\thetay=rsinθy = r\sin\theta であるとき、以下の問いに答えるものです。
(1) ur\frac{\partial u}{\partial r}uθ\frac{\partial u}{\partial \theta} を、ux\frac{\partial u}{\partial x}uy\frac{\partial u}{\partial y} で表しなさい。
(2) ux\frac{\partial u}{\partial x}uy\frac{\partial u}{\partial y} を、ur\frac{\partial u}{\partial r}uθ\frac{\partial u}{\partial \theta} で表しなさい。
(3) (ux)2+(uy)2\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^22ux2+2uy2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} を、ur\frac{\partial u}{\partial r}uθ\frac{\partial u}{\partial \theta} で表しなさい。

2. 解き方の手順

(1) 連鎖律を用いる。
ur=uxxr+uyyr=uxcosθ+uysinθ\frac{\partial u}{\partial r} = \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial r} + \frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial r} = \frac{\partial u}{\partial x}\cos\theta + \frac{\partial u}{\partial y}\sin\theta
uθ=uxxθ+uyyθ=ux(rsinθ)+uy(rcosθ)\frac{\partial u}{\partial \theta} = \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \theta} + \frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial \theta} = \frac{\partial u}{\partial x}(-r\sin\theta) + \frac{\partial u}{\partial y}(r\cos\theta)
(2) (1)の結果から、ux\frac{\partial u}{\partial x}uy\frac{\partial u}{\partial y} について解く。
ur=uxcosθ+uysinθ\frac{\partial u}{\partial r} = \frac{\partial u}{\partial x}\cos\theta + \frac{\partial u}{\partial y}\sin\theta
uθ=rsinθux+rcosθuy\frac{\partial u}{\partial \theta} = -r\sin\theta\frac{\partial u}{\partial x} + r\cos\theta\frac{\partial u}{\partial y}
urcosθ=uxcos2θ+uysinθcosθ\frac{\partial u}{\partial r}\cos\theta = \frac{\partial u}{\partial x}\cos^2\theta + \frac{\partial u}{\partial y}\sin\theta\cos\theta
uθsinθr=uxsin2θ+uycosθsinθ\frac{\partial u}{\partial \theta}\frac{\sin\theta}{r} = -\frac{\partial u}{\partial x}\sin^2\theta + \frac{\partial u}{\partial y}\cos\theta\sin\theta
urcosθ+uθsinθr=ux(cos2θ+sin2θ)=ux\frac{\partial u}{\partial r}\cos\theta + \frac{\partial u}{\partial \theta}\frac{\sin\theta}{r} = \frac{\partial u}{\partial x}(\cos^2\theta + \sin^2\theta) = \frac{\partial u}{\partial x}
ursinθ=uxcosθsinθ+uysin2θ\frac{\partial u}{\partial r}\sin\theta = \frac{\partial u}{\partial x}\cos\theta\sin\theta + \frac{\partial u}{\partial y}\sin^2\theta
uθcosθr=uxsinθcosθ+uycos2θ\frac{\partial u}{\partial \theta}\frac{\cos\theta}{r} = -\frac{\partial u}{\partial x}\sin\theta\cos\theta + \frac{\partial u}{\partial y}\cos^2\theta
ursinθuθcosθr=uy(sin2θ+cos2θ)=uy\frac{\partial u}{\partial r}\sin\theta - \frac{\partial u}{\partial \theta}\frac{\cos\theta}{r} = \frac{\partial u}{\partial y}(\sin^2\theta + \cos^2\theta) = \frac{\partial u}{\partial y}
よって、
ux=urcosθ+1ruθsinθ\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial r}\cos\theta + \frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \theta}\sin\theta
uy=ursinθ1ruθcosθ\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial u}{\partial r}\sin\theta - \frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \theta}\cos\theta
(3) (2)の結果を用いて計算する。
(ux)2+(uy)2=(urcosθ+1ruθsinθ)2+(ursinθ1ruθcosθ)2\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^2 = \left(\frac{\partial u}{\partial r}\cos\theta + \frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \theta}\sin\theta\right)^2 + \left(\frac{\partial u}{\partial r}\sin\theta - \frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \theta}\cos\theta\right)^2
=(ur)2cos2θ+2ruruθsinθcosθ+1r2(uθ)2sin2θ+(ur)2sin2θ2ruruθsinθcosθ+1r2(uθ)2cos2θ= \left(\frac{\partial u}{\partial r}\right)^2\cos^2\theta + \frac{2}{r}\frac{\partial u}{\partial r}\frac{\partial u}{\partial \theta}\sin\theta\cos\theta + \frac{1}{r^2}\left(\frac{\partial u}{\partial \theta}\right)^2\sin^2\theta + \left(\frac{\partial u}{\partial r}\right)^2\sin^2\theta - \frac{2}{r}\frac{\partial u}{\partial r}\frac{\partial u}{\partial \theta}\sin\theta\cos\theta + \frac{1}{r^2}\left(\frac{\partial u}{\partial \theta}\right)^2\cos^2\theta
=(ur)2(cos2θ+sin2θ)+1r2(uθ)2(sin2θ+cos2θ)=(ur)2+1r2(uθ)2= \left(\frac{\partial u}{\partial r}\right)^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta) + \frac{1}{r^2}\left(\frac{\partial u}{\partial \theta}\right)^2(\sin^2\theta + \cos^2\theta) = \left(\frac{\partial u}{\partial r}\right)^2 + \frac{1}{r^2}\left(\frac{\partial u}{\partial \theta}\right)^2
2ux2+2uy2=2ur2+1rur+1r22uθ2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = \frac{\partial^2 u}{\partial r^2} + \frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2}

3. 最終的な答え

(1) ur=uxcosθ+uysinθ\frac{\partial u}{\partial r} = \frac{\partial u}{\partial x}\cos\theta + \frac{\partial u}{\partial y}\sin\theta
uθ=rsinθux+rcosθuy\frac{\partial u}{\partial \theta} = -r\sin\theta\frac{\partial u}{\partial x} + r\cos\theta\frac{\partial u}{\partial y}
(2) ux=urcosθ+1ruθsinθ\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial r}\cos\theta + \frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \theta}\sin\theta
uy=ursinθ1ruθcosθ\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial u}{\partial r}\sin\theta - \frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \theta}\cos\theta
(3) (ux)2+(uy)2=(ur)2+1r2(uθ)2\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^2 = \left(\frac{\partial u}{\partial r}\right)^2 + \frac{1}{r^2}\left(\frac{\partial u}{\partial \theta}\right)^2
2ux2+2uy2=2ur2+1rur+1r22uθ2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = \frac{\partial^2 u}{\partial r^2} + \frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2}

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