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問題は、$u$が$x$と$y$の関数であり、$x = r\cos\theta$、$y = r\sin\theta$ であるとき、以下の問いに答えるものです。 (1) $\frac{\partial u}{\partial r}$ と $\frac{\partial u}{\partial \theta}$ を、$\frac{\partial u}{\partial x}$ と $\frac{\partial u}{\partial y}$ で表しなさい。 (2) $\frac{\partial u}{\partial x}$ と $\frac{\partial u}{\partial y}$ を、$\frac{\partial u}{\partial r}$ と $\frac{\partial u}{\partial \theta}$ で表しなさい。 (3) $\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^2$ と $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$ を、$\frac{\partial u}{\partial r}$ と $\frac{\partial u}{\partial \theta}$ で表しなさい。

解析学偏微分連鎖律座標変換
2025/7/9

1. 問題の内容

問題は、uuがxxとyyの関数であり、x=rcos⁡θx = r\cos\theta、y=rsin⁡θy = r\sin\theta であるとき、以下の問いに答えるものです。
(1) ∂u∂r\frac{\partial u}{\partial r} と ∂u∂θ\frac{\partial u}{\partial \theta} を、∂u∂x\frac{\partial u}{\partial x} と ∂u∂y\frac{\partial u}{\partial y} で表しなさい。
(2) ∂u∂x\frac{\partial u}{\partial x} と ∂u∂y\frac{\partial u}{\partial y} を、∂u∂r\frac{\partial u}{\partial r} と ∂u∂θ\frac{\partial u}{\partial \theta} で表しなさい。
(3) (∂u∂x)2+(∂u∂y)2\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^2 と ∂2u∂x2+∂2u∂y2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} を、∂u∂r\frac{\partial u}{\partial r} と ∂u∂θ\frac{\partial u}{\partial \theta} で表しなさい。

2. 解き方の手順

(1) 連鎖律を用いる。
∂u∂r=∂u∂x∂x∂r+∂u∂y∂y∂r=∂u∂xcos⁡θ+∂u∂ysin⁡θ\frac{\partial u}{\partial r} = \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial r} + \frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial r} = \frac{\partial u}{\partial x}\cos\theta + \frac{\partial u}{\partial y}\sin\theta
∂u∂θ=∂u∂x∂x∂θ+∂u∂y∂y∂θ=∂u∂x(−rsin⁡θ)+∂u∂y(rcos⁡θ)\frac{\partial u}{\partial \theta} = \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \theta} + \frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial \theta} = \frac{\partial u}{\partial x}(-r\sin\theta) + \frac{\partial u}{\partial y}(r\cos\theta)
(2) (1)の結果から、∂u∂x\frac{\partial u}{\partial x} と ∂u∂y\frac{\partial u}{\partial y} について解く。
∂u∂r=∂u∂xcos⁡θ+∂u∂ysin⁡θ\frac{\partial u}{\partial r} = \frac{\partial u}{\partial x}\cos\theta + \frac{\partial u}{\partial y}\sin\theta
∂u∂θ=−rsin⁡θ∂u∂x+rcos⁡θ∂u∂y\frac{\partial u}{\partial \theta} = -r\sin\theta\frac{\partial u}{\partial x} + r\cos\theta\frac{\partial u}{\partial y}
∂u∂rcos⁡θ=∂u∂xcos⁡2θ+∂u∂ysin⁡θcos⁡θ\frac{\partial u}{\partial r}\cos\theta = \frac{\partial u}{\partial x}\cos^2\theta + \frac{\partial u}{\partial y}\sin\theta\cos\theta
∂u∂θsin⁡θr=−∂u∂xsin⁡2θ+∂u∂ycos⁡θsin⁡θ\frac{\partial u}{\partial \theta}\frac{\sin\theta}{r} = -\frac{\partial u}{\partial x}\sin^2\theta + \frac{\partial u}{\partial y}\cos\theta\sin\theta
∂u∂rcos⁡θ+∂u∂θsin⁡θr=∂u∂x(cos⁡2θ+sin⁡2θ)=∂u∂x\frac{\partial u}{\partial r}\cos\theta + \frac{\partial u}{\partial \theta}\frac{\sin\theta}{r} = \frac{\partial u}{\partial x}(\cos^2\theta + \sin^2\theta) = \frac{\partial u}{\partial x}
∂u∂rsin⁡θ=∂u∂xcos⁡θsin⁡θ+∂u∂ysin⁡2θ\frac{\partial u}{\partial r}\sin\theta = \frac{\partial u}{\partial x}\cos\theta\sin\theta + \frac{\partial u}{\partial y}\sin^2\theta
∂u∂θcos⁡θr=−∂u∂xsin⁡θcos⁡θ+∂u∂ycos⁡2θ\frac{\partial u}{\partial \theta}\frac{\cos\theta}{r} = -\frac{\partial u}{\partial x}\sin\theta\cos\theta + \frac{\partial u}{\partial y}\cos^2\theta
∂u∂rsin⁡θ−∂u∂θcos⁡θr=∂u∂y(sin⁡2θ+cos⁡2θ)=∂u∂y\frac{\partial u}{\partial r}\sin\theta - \frac{\partial u}{\partial \theta}\frac{\cos\theta}{r} = \frac{\partial u}{\partial y}(\sin^2\theta + \cos^2\theta) = \frac{\partial u}{\partial y}
よって、
∂u∂x=∂u∂rcos⁡θ+1r∂u∂θsin⁡θ\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial r}\cos\theta + \frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \theta}\sin\theta
∂u∂y=∂u∂rsin⁡θ−1r∂u∂θcos⁡θ\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial u}{\partial r}\sin\theta - \frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \theta}\cos\theta
(3) (2)の結果を用いて計算する。
(∂u∂x)2+(∂u∂y)2=(∂u∂rcos⁡θ+1r∂u∂θsin⁡θ)2+(∂u∂rsin⁡θ−1r∂u∂θcos⁡θ)2\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^2 = \left(\frac{\partial u}{\partial r}\cos\theta + \frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \theta}\sin\theta\right)^2 + \left(\frac{\partial u}{\partial r}\sin\theta - \frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \theta}\cos\theta\right)^2
=(∂u∂r)2cos⁡2θ+2r∂u∂r∂u∂θsin⁡θcos⁡θ+1r2(∂u∂θ)2sin⁡2θ+(∂u∂r)2sin⁡2θ−2r∂u∂r∂u∂θsin⁡θcos⁡θ+1r2(∂u∂θ)2cos⁡2θ= \left(\frac{\partial u}{\partial r}\right)^2\cos^2\theta + \frac{2}{r}\frac{\partial u}{\partial r}\frac{\partial u}{\partial \theta}\sin\theta\cos\theta + \frac{1}{r^2}\left(\frac{\partial u}{\partial \theta}\right)^2\sin^2\theta + \left(\frac{\partial u}{\partial r}\right)^2\sin^2\theta - \frac{2}{r}\frac{\partial u}{\partial r}\frac{\partial u}{\partial \theta}\sin\theta\cos\theta + \frac{1}{r^2}\left(\frac{\partial u}{\partial \theta}\right)^2\cos^2\theta
=(∂u∂r)2(cos⁡2θ+sin⁡2θ)+1r2(∂u∂θ)2(sin⁡2θ+cos⁡2θ)=(∂u∂r)2+1r2(∂u∂θ)2= \left(\frac{\partial u}{\partial r}\right)^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta) + \frac{1}{r^2}\left(\frac{\partial u}{\partial \theta}\right)^2(\sin^2\theta + \cos^2\theta) = \left(\frac{\partial u}{\partial r}\right)^2 + \frac{1}{r^2}\left(\frac{\partial u}{\partial \theta}\right)^2
∂2u∂x2+∂2u∂y2=∂2u∂r2+1r∂u∂r+1r2∂2u∂θ2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = \frac{\partial^2 u}{\partial r^2} + \frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2}

3. 最終的な答え

(1) ∂u∂r=∂u∂xcos⁡θ+∂u∂ysin⁡θ\frac{\partial u}{\partial r} = \frac{\partial u}{\partial x}\cos\theta + \frac{\partial u}{\partial y}\sin\theta
∂u∂θ=−rsin⁡θ∂u∂x+rcos⁡θ∂u∂y\frac{\partial u}{\partial \theta} = -r\sin\theta\frac{\partial u}{\partial x} + r\cos\theta\frac{\partial u}{\partial y}
(2) ∂u∂x=∂u∂rcos⁡θ+1r∂u∂θsin⁡θ\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial r}\cos\theta + \frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \theta}\sin\theta
∂u∂y=∂u∂rsin⁡θ−1r∂u∂θcos⁡θ\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial u}{\partial r}\sin\theta - \frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \theta}\cos\theta
(3) (∂u∂x)2+(∂u∂y)2=(∂u∂r)2+1r2(∂u∂θ)2\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^2 = \left(\frac{\partial u}{\partial r}\right)^2 + \frac{1}{r^2}\left(\frac{\partial u}{\partial \theta}\right)^2
∂2u∂x2+∂2u∂y2=∂2u∂r2+1r∂u∂r+1r2∂2u∂θ2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = \frac{\partial^2 u}{\partial r^2} + \frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2}

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