$x^2 - y^2 = xy$ で定義される陰関数 $y=y(x)$ について、$\frac{d^2 y}{dx^2}$ を求めます。

## (1) の問題

1. 問題の内容

$x^2 - y^2 = xy$ で定義される陰関数 $y=y(x)$ について、$\frac{d^2 y}{dx^2}$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 - y^2 = xy$ を $x$ で微分します。

$2x - 2y \frac{dy}{dx} = y + x \frac{dy}{dx}$

これを $\frac{dy}{dx}$ について解きます。

$2x - y = (x + 2y) \frac{dy}{dx}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2x - y}{x + 2y}$

次に、$\frac{dy}{dx}$ を再び $x$ で微分します。

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left( \frac{2x - y}{x + 2y} \right)$

商の微分公式を用いると、

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{(2 - \frac{dy}{dx})(x + 2y) - (2x - y)(1 + 2\frac{dy}{dx})}{(x + 2y)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2x - y}{x + 2y}$ を代入します。

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{(2 - \frac{2x - y}{x + 2y})(x + 2y) - (2x - y)(1 + 2\frac{2x - y}{x + 2y})}{(x + 2y)^2}$

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{(2(x+2y) - (2x - y))(x + 2y) - (2x - y)((x+2y) + 2(2x - y))}{(x + 2y)^3}$

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{(2x + 4y - 2x + y)(x + 2y) - (2x - y)(x+2y + 4x - 2y)}{(x + 2y)^3}$

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{(5y)(x + 2y) - (2x - y)(5x)}{(x + 2y)^3}$

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{5xy + 10y^2 - 10x^2 + 5xy}{(x + 2y)^3}$

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{10xy + 10y^2 - 10x^2}{(x + 2y)^3}$

$x^2 - y^2 = xy$ を用いると、$xy = x^2 - y^2$ より、

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{10(x^2 - y^2) + 10y^2 - 10x^2}{(x + 2y)^3}$

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{10x^2 - 10y^2 + 10y^2 - 10x^2}{(x + 2y)^3} = 0$

3. 最終的な答え

$\frac{d^2 y}{dx^2} = 0$

## (2) の問題

1. 問題の内容

$x^2 + 2xy + 2y^2 = 1$ で定義される陰関数 $y=y(x)$ について、$x=1$ での $\frac{d^2 y}{dx^2}$ の値を全て求めます。

2. 解き方の手順

まず、$x=1$ を $x^2 + 2xy + 2y^2 = 1$ に代入します。

$1 + 2y + 2y^2 = 1$

$2y + 2y^2 = 0$

$2y(1 + y) = 0$

$y = 0, -1$

次に、$x^2 + 2xy + 2y^2 = 1$ を $x$ で微分します。

$2x + 2y + 2x \frac{dy}{dx} + 4y \frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{x + y}{x + 2y}$

$x = 1, y = 0$ のとき、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1 + 0}{1 + 0} = -1$

$x = 1, y = -1$ のとき、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1 - 1}{1 - 2} = 0$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{x + y}{x + 2y}$ を再び $x$ で微分します。

$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{(1 + \frac{dy}{dx})(x + 2y) - (x + y)(1 + 2\frac{dy}{dx})}{(x + 2y)^2}$

$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{(x + 2y + (x + 2y)\frac{dy}{dx}) - (x + y + (2x + 2y)\frac{dy}{dx})}{(x + 2y)^2}$

$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{2y - x - 2y + (x + 2y - 2x - 2y)\frac{dy}{dx}}{(x + 2y)^2}$

$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{-(x) + (-x)\frac{dy}{dx}}{(x + 2y)^2}$

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{x + x\frac{dy}{dx}}{(x + 2y)^2}$

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{x(1 + \frac{dy}{dx})}{(x + 2y)^2}$

$x = 1, y = 0, \frac{dy}{dx} = -1$ のとき、

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1(1 - 1)}{(1 + 0)^2} = \frac{0}{1} = 0$

$x = 1, y = -1, \frac{dy}{dx} = 0$ のとき、

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1(1 + 0)}{(1 - 2)^2} = \frac{1}{1} = 1$

3. 最終的な答え

$\frac{d^2y}{dx^2} = 0, 1$

## (3) の問題

1. 問題の内容

$x^3 y^2 + \cos y - \log(2 + x^2) = 0$ で定義される陰関数 $y=y(x)$ について、$x=0$ での $\frac{d^2 y}{dx^2}$ の値を全て求めます。ただし、$0 \le y < 2\pi$ とします。

2. 解き方の手順

まず、$x=0$ を $x^3 y^2 + \cos y - \log(2 + x^2) = 0$ に代入します。

$0 + \cos y - \log 2 = 0$

$\cos y = \log 2$

$y = \arccos(\log 2)$ と $y = 2\pi - \arccos(\log 2)$

次に、$x^3 y^2 + \cos y - \log(2 + x^2) = 0$ を $x$ で微分します。

$3x^2 y^2 + 2x^3 y \frac{dy}{dx} - \sin y \frac{dy}{dx} - \frac{2x}{2 + x^2} = 0$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-3x^2 y^2 + \frac{2x}{2 + x^2}}{2x^3 y - \sin y}$

$x = 0$ のとき、

$\frac{dy}{dx} = \frac{0}{-\sin y} = 0$ (ただし、$\sin y \ne 0$)

$y = \arccos(\log 2)$, $y = 2\pi - \arccos(\log 2)$ のとき、$\cos y = \log 2$ なので、$\sin y = \pm \sqrt{1 - (\log 2)^2} \ne 0$。

したがって、$\frac{dy}{dx} = 0$。

$\frac{d^2y}{dx^2}$ を求めるために、$\frac{dy}{dx} = \frac{-3x^2 y^2 + \frac{2x}{2 + x^2}}{2x^3 y - \sin y}$ をさらに微分するのは非常に複雑になるため、$3x^2 y^2 + 2x^3 y \frac{dy}{dx} - \sin y \frac{dy}{dx} - \frac{2x}{2 + x^2} = 0$ の両辺をさらに $x$ で微分します。

$6xy^2 + 6x^2 y \frac{dy}{dx} + 6x^2 y \frac{dy}{dx} + 2x^3 (\frac{dy}{dx})^2 + 2x^3 y \frac{d^2y}{dx^2} - \cos y (\frac{dy}{dx})^2 - \sin y \frac{d^2y}{dx^2} - \frac{2(2 + x^2) - 2x(2x)}{(2 + x^2)^2} = 0$

$6xy^2 + 12x^2 y \frac{dy}{dx} + 2x^3 (\frac{dy}{dx})^2 + 2x^3 y \frac{d^2y}{dx^2} - \cos y (\frac{dy}{dx})^2 - \sin y \frac{d^2y}{dx^2} - \frac{4 + 2x^2 - 4x^2}{(2 + x^2)^2} = 0$

$6xy^2 + 12x^2 y \frac{dy}{dx} + 2x^3 (\frac{dy}{dx})^2 + 2x^3 y \frac{d^2y}{dx^2} - \cos y (\frac{dy}{dx})^2 - \sin y \frac{d^2y}{dx^2} - \frac{4 - 2x^2}{(2 + x^2)^2} = 0$

$x = 0$ のとき、$\frac{dy}{dx} = 0$ であったので、

$0 + 0 + 0 + 0 - \sin y \frac{d^2y}{dx^2} - \frac{4}{4} = 0$

$-\sin y \frac{d^2y}{dx^2} - 1 = 0$

$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{1}{\sin y}$

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{-1}{\pm \sqrt{1 - (\log 2)^2}}$

$\frac{d^2y}{dx^2} = \mp \frac{1}{\sqrt{1 - (\log 2)^2}}$

3. 最終的な答え

$\frac{d^2y}{dx^2} = \pm \frac{-1}{\sqrt{1-(\log 2)^2}}$