与えられた二次関数 $f(x) = ax^2 + bx + c$ について、いくつかの条件の下で二次方程式 $f(x) = 0$ の実数解の個数を求める問題です。特に、判別式、係数の符号、および $f(1)$ と $f(2)$ の符号に基づいて解の個数を決定する必要があります。

1. 問題の内容

与えられた二次関数 $f(x) = ax^2 + bx + c$ について、いくつかの条件の下で二次方程式 $f(x) = 0$ の実数解の個数を求める問題です。特に、判別式、係数の符号、および $f(1)$ と $f(2)$ の符号に基づいて解の個数を決定する必要があります。

2. 解き方の手順

(1) 判別式 $b^2 - 4ac \ge 0$ のとき、実数解の個数は2個または1個（重解の場合）なので、解答群から選ぶと「2個」または「1個」なので、④「1個または2個」が適しています。

(2) $a > 0$ かつ $c < 0$ のとき、グラフは下に凸で、y切片は負です。したがって、x軸との交点は必ず2つ存在するので、実数解の個数は2個です。また、$f(0)=c<0$ であり、$x \to \infty$ で $f(x) \to \infty$ となるので、正の実数解は必ず1つ存在します。

したがって、イは「2個」、ウは「1個」です。

(3) $f(1)f(2) < 0$ のとき、$f(1)$ と $f(2)$ の符号が異なるため、$f(1) < 0$ かつ $f(2) > 0$ または $f(1) > 0$ かつ $f(2) < 0$ となります。これは、$x=1$ と $x=2$ の間で符号が変わることを意味し、中間値の定理より、必ず $1 < x < 2$ の範囲に実数解が1つ存在します。したがって、エは0、オは「1個」です。

$x>2$ の実数解の個数は、下に凸の場合も上に凸の場合も、0個または1個です。

したがって、カは「0個または1個」。

(4) $f(1)f(2) = 0$ のとき、$f(1) = 0$ または $f(2) = 0$ (または両方)です。

- $f(1)=0$ かつ $f(2) \neq 0$ の場合、$x=1$は解ですが$x=2$は解ではありません。このとき、$1<x<2$に解が存在するかは場合によります。グラフの形状によります。

- $f(1) \neq 0$ かつ $f(2)=0$ の場合、$x=2$は解ですが$x=1$は解ではありません。このとき、$1<x<2$に解が存在するかは場合によります。

- $f(1)=0$ かつ $f(2)=0$ の場合、$x=1$と$x=2$は解です。このとき、$1<x<2$に解は存在しません。

したがって、$1 < x < 2$ を満たす実数解の個数は、0個または1個です。キは「0個または1個」。

$1 \le x \le 2$ を満たす実数解の個数は、$x=1$または$x=2$が解なので、１個または２個です。 クは「1個または2個」。

(5) $f(1)f(2) > 0$ のとき、$f(1)$ と $f(2)$ の符号が同じです。

グラフがx軸と交わるかどうかによって、$1 < x < 2$ に実数解が存在するかどうかが決まります。解が存在しない場合もあれば、2つ存在する場合もあります。したがって、ケは「0個または2個」。

3. 最終的な答え

ア：④

イ：②

ウ：①

エ：0

オ：①

カ：③

キ：③

ク：④

ケ：⑤