$x \geq 0$, $y \geq 0$, $2x+y = 6$ のとき、$4x^2+3xy+y^2-6x-3y$ の最大値と最小値を求めよ。

## 22*(1) の問題

1. 問題の内容

$x \geq 0$, $y \geq 0$, $2x+y = 6$ のとき、$4x^2+3xy+y^2-6x-3y$ の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$2x + y = 6$ より $y = 6 - 2x$ である。

$x \geq 0$, $y \geq 0$ より、$x \geq 0$, $6-2x \geq 0$ であるから、$0 \leq x \leq 3$ となる。

次に、$f(x,y) = 4x^2 + 3xy + y^2 - 6x - 3y$ に $y = 6-2x$ を代入する。

\begin{align*}

f(x) &= 4x^2 + 3x(6-2x) + (6-2x)^2 - 6x - 3(6-2x) \\

&= 4x^2 + 18x - 6x^2 + 36 - 24x + 4x^2 - 6x - 18 + 6x \\

&= 2x^2 - 6x + 18

\end{align*}

これは $0 \leq x \leq 3$ における $f(x) = 2x^2 - 6x + 18$ の最大値・最小値を求める問題となる。

$f(x)$ を平方完成すると、

\begin{align*}

f(x) &= 2(x^2 - 3x) + 18 \\

&= 2\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - 2 \cdot \frac{9}{4} + 18 \\

&= 2\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{2} + \frac{36}{2} \\

&= 2\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{27}{2}

\end{align*}

軸は $x = \frac{3}{2}$ であり、$0 \leq x \leq 3$ の範囲に含まれる。

したがって、

- $x = \frac{3}{2}$ のとき、最小値 $f\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{27}{2}$

- $x = 0$ または $x = 3$ のとき、最大値 $f(0) = f(3) = 18$

最小値を取るとき、$x = \frac{3}{2}$, $y = 6 - 2\left(\frac{3}{2}\right) = 6 - 3 = 3$

最大値を取るとき、$x = 0$, $y = 6$ または $x = 3$, $y = 0$

3. 最終的な答え

最大値: 18 ($x=0$, $y=6$ または $x=3$, $y=0$ のとき)

最小値: $\frac{27}{2}$ ($x=\frac{3}{2}$, $y=3$ のとき)