$a$ を定数とするとき、$0 \le x \le 4$ における2次関数 $f(x) = 2x^2 - ax + 5$ の最大値、最小値、およびそれらを与える $x$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ を定数とするとき、$0 \le x \le 4$ における2次関数 $f(x) = 2x^2 - ax + 5$ の最大値、最小値、およびそれらを与える $x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、2次関数 $f(x) = 2x^2 - ax + 5$ を平方完成する。

$$f(x) = 2\left(x^2 - \frac{a}{2}x\right) + 5 = 2\left(x - \frac{a}{4}\right)^2 - 2\left(\frac{a}{4}\right)^2 + 5 = 2\left(x - \frac{a}{4}\right)^2 - \frac{a^2}{8} + 5$$

よって、軸は $x = \frac{a}{4}$ となる。定義域が $0 \le x \le 4$ であるから、軸の位置によって場合分けを行う。

(1) $\frac{a}{4} < 0$ すなわち $a < 0$ のとき

$f(x)$ は $0 \le x \le 4$ で単調増加である。よって、

- 最大値：$f(4) = 2(4^2) - 4a + 5 = 37 - 4a$ ($x = 4$)

- 最小値：$f(0) = 5$ ($x = 0$)

(2) $0 \le \frac{a}{4} \le 4$ すなわち $0 \le a \le 16$ のとき

- 最大値：軸が定義域の中にある場合、定義域の端点のどちらかが最大値を与える。

$f(0) = 5$

$f(4) = 37 - 4a$

軸からの距離で考える。

$\frac{a}{4}$ と 0, 4 の距離を考える。

$\frac{a}{4} - 0 = \frac{a}{4}$

$4 - \frac{a}{4} = \frac{16-a}{4}$

- もし $\frac{a}{4} < \frac{16-a}{4}$ すなわち $a < 8$ のとき、$x=4$ で最大値 $37-4a$。

- もし $\frac{a}{4} > \frac{16-a}{4}$ すなわち $a > 8$ のとき、$x=0$ で最大値 5。

- もし $a = 8$ のとき、$x=0$ と $x=4$ で同じ値をとる。$f(0) = 5$，$f(4) = 37 - 4(8) = 5$。

最小値は、$x = \frac{a}{4}$ で $f(\frac{a}{4}) = -\frac{a^2}{8} + 5$。

まとめると、$0 \le a \le 16$ において、

- $0 \le a \le 8$ のとき、

- 最大値：$37 - 4a$ ($x = 4$)

- 最小値：$-\frac{a^2}{8} + 5$ ($x = \frac{a}{4}$)

- $8 < a \le 16$ のとき、

- 最大値：$5$ ($x = 0$)

- 最小値：$-\frac{a^2}{8} + 5$ ($x = \frac{a}{4}$)

- $a = 8$ のとき、

- 最大値：$5$ ($x=0$ と $x=4$)

- 最小値：$-\frac{8^2}{8} + 5 = -8 + 5 = -3$ ($x = \frac{8}{4}=2$)

(3) $\frac{a}{4} > 4$ すなわち $a > 16$ のとき

$f(x)$ は $0 \le x \le 4$ で単調減少である。よって、

- 最大値：$f(0) = 5$ ($x = 0$)

- 最小値：$f(4) = 37 - 4a$ ($x = 4$)

3. 最終的な答え

(1) $a < 0$ のとき

最大値：$37 - 4a$ ($x = 4$)

最小値：$5$ ($x = 0$)

(2) $0 \le a \le 8$ のとき

最大値：$37 - 4a$ ($x = 4$)

最小値：$-\frac{a^2}{8} + 5$ ($x = \frac{a}{4}$)

(3) $8 < a \le 16$ のとき

最大値：$5$ ($x = 0$)

最小値：$-\frac{a^2}{8} + 5$ ($x = \frac{a}{4}$)

(4) $a > 16$ のとき

最大値：$5$ ($x = 0$)

最小値：$37 - 4a$ ($x = 4$)

(5) $a = 8$ のとき

最大値：$5$ ($x = 0$ または $x = 4$)

最小値：$-3$ ($x = 2$)