4次式 $x^4 - 4x^2 - 5$ を、有理数、実数、複素数の範囲でそれぞれ因数分解する。

1. 問題の内容

4次式 $x^4 - 4x^2 - 5$ を、有理数、実数、複素数の範囲でそれぞれ因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を $A = x^2$ とおくと、

$x^4 - 4x^2 - 5 = A^2 - 4A - 5$ となる。

これを因数分解すると、

$A^2 - 4A - 5 = (A - 5)(A + 1)$

$x^2$ を元に戻すと、

$(x^2 - 5)(x^2 + 1)$

(1) 有理数の範囲

$x^2 - 5$ と $x^2 + 1$ は有理数の範囲ではこれ以上因数分解できないため、

$(x^2 - 5)(x^2 + 1)$ が有理数の範囲での因数分解の結果となる。

(2) 実数の範囲

$x^2 - 5 = (x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5})$

$x^2 + 1$ は実数の範囲ではこれ以上因数分解できない。

したがって、$(x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5})(x^2 + 1)$ が実数の範囲での因数分解の結果となる。

(3) 複素数の範囲

$x^2 + 1 = (x - i)(x + i)$

したがって、$(x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5})(x - i)(x + i)$ が複素数の範囲での因数分解の結果となる。

3. 最終的な答え

(1) 有理数の範囲: $(x^2 - 5)(x^2 + 1)$

(2) 実数の範囲: $(x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5})(x^2 + 1)$

(3) 複素数の範囲: $(x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5})(x - i)(x + i)$