2つの方程式 $x^2 - 2ax + 4 = 0$ (①) と $x^2 - 2ax + 2a + 3 = 0$ (②) が与えられています。以下の3つの条件を満たす $a$ の値の範囲を求めます。 (1) ①, ②ともに実数解をもつ。 (2) ①, ②のうち一方だけが実数解をもつ。 (3) ①, ②のうち少なくとも一方が実数解をもつ。

1. 問題の内容

2つの方程式 $x^2 - 2ax + 4 = 0$ (①) と $x^2 - 2ax + 2a + 3 = 0$ (②) が与えられています。以下の3つの条件を満たす $a$ の値の範囲を求めます。

(1) ①, ②ともに実数解をもつ。

(2) ①, ②のうち一方だけが実数解をもつ。

(3) ①, ②のうち少なくとも一方が実数解をもつ。

2. 解き方の手順

まず、各2次方程式が実数解を持つ条件を判別式を用いて求めます。

方程式① $x^2 - 2ax + 4 = 0$ の判別式を $D_1$ とすると、

$D_1 = (-2a)^2 - 4(1)(4) = 4a^2 - 16$

方程式② $x^2 - 2ax + 2a + 3 = 0$ の判別式を $D_2$ とすると、

$D_2 = (-2a)^2 - 4(1)(2a + 3) = 4a^2 - 8a - 12$

(1) ①, ②ともに実数解をもつ条件

$D_1 \geq 0$ かつ $D_2 \geq 0$ である必要があります。

$D_1 \geq 0 \Rightarrow 4a^2 - 16 \geq 0 \Rightarrow a^2 \geq 4 \Rightarrow a \leq -2$ または $a \geq 2$

$D_2 \geq 0 \Rightarrow 4a^2 - 8a - 12 \geq 0 \Rightarrow a^2 - 2a - 3 \geq 0 \Rightarrow (a - 3)(a + 1) \geq 0 \Rightarrow a \leq -1$ または $a \geq 3$

したがって、$a \leq -2$ または $a \geq 2$ かつ $a \leq -1$ または $a \geq 3$ を満たす $a$ の範囲は、$a \leq -2$ または $a \geq 3$ です。

(2) ①, ②のうち一方だけが実数解をもつ条件

(i) ①が実数解を持ち、②が実数解を持たない場合：$D_1 \geq 0$ かつ $D_2 < 0$

(ii) ①が実数解を持たず、②が実数解を持つ場合：$D_1 < 0$ かつ $D_2 \geq 0$

(i) $D_1 \geq 0$ かつ $D_2 < 0$ の場合

$a \leq -2$ または $a \geq 2$ かつ $-1 < a < 3$

よって、$-1 < a \leq -2$ は存在せず、$2 \leq a < 3$ となります。

(ii) $D_1 < 0$ かつ $D_2 \geq 0$ の場合

$-2 < a < 2$ かつ $a \leq -1$ または $a \geq 3$

よって、$-2 < a \leq -1$ となります。$3 \leq a < 2$は存在しません。

したがって、$-2 < a \leq -1$ または $2 \leq a < 3$ です。

(3) ①, ②のうち少なくとも一方が実数解をもつ条件

$D_1 \geq 0$ または $D_2 \geq 0$ である必要があります。

つまり、$a \leq -2$ または $a \geq 2$ または $a \leq -1$ または $a \geq 3$ です。

したがって、$a \leq -1$ または $a \geq 2$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $a \leq -2$ または $a \geq 3$

(2) $-2 < a \leq -1$ または $2 \leq a < 3$

(3) $a \leq -2$ または $a \geq -1$