2次不等式 $2ax^2 + 2bx + 1 \le 0$ の解が $x \le -\frac{1}{2}, 3 \le x$ となるように、$a, b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

2次不等式 $2ax^2 + 2bx + 1 \le 0$ の解が $x \le -\frac{1}{2}, 3 \le x$ となるように、$a, b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$2ax^2 + 2bx + 1 \le 0$ の解が $x \le -\frac{1}{2}, 3 \le x$ であることから、$2ax^2 + 2bx + 1 = 0$ の解は $x = -\frac{1}{2}, 3$ であるとわかります。

2次方程式の解と係数の関係より、

解の和: $-\frac{1}{2} + 3 = \frac{5}{2}$

解の積: $-\frac{1}{2} \cdot 3 = -\frac{3}{2}$

2次方程式 $2ax^2 + 2bx + 1 = 0$ を $x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{1}{2a} = 0$ と変形します。

解と係数の関係から、

$-\frac{b}{a} = \frac{5}{2}$

$\frac{1}{2a} = -\frac{3}{2}$

2つ目の式から、

$\frac{1}{2a} = -\frac{3}{2}$

$1 = -3a$

$a = -\frac{1}{3}$

1つ目の式に $a = -\frac{1}{3}$ を代入します。

$-\frac{b}{-\frac{1}{3}} = \frac{5}{2}$

$3b = \frac{5}{2}$

$b = \frac{5}{6}$

$a$ の値が負なので、$2ax^2 + 2bx + 1 \le 0$ の解が $x \le -\frac{1}{2}, 3 \le x$ となる条件を満たします。

3. 最終的な答え

$a = -\frac{1}{3}$

$b = \frac{5}{6}$