行列 $A = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ と行列 $A' = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ が与えられています。行列 $A$ の1行目を $\frac{1}{2}$ 倍すると $A'$ になることを利用して、$A$ を $A'$ と適切な基本行列で表す問題です。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ と行列 $A' = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ が与えられています。行列 $A$ の1行目を $\frac{1}{2}$ 倍すると $A'$ になることを利用して、$A$ を $A'$ と適切な基本行列で表す問題です。

2. 解き方の手順

まず、$A$ に左からある基本行列を掛けて $A'$ になることを考えます。問題文より、$A$ の1行目を $\frac{1}{2}$ 倍すると $A'$ になるので、基本行列を $E_1$ とすると、$E_1 A = A'$ となります。ここで、$E_1$ は単位行列 $E$ の1行目を $\frac{1}{2}$ 倍した行列です。つまり、$E_1 = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ です。

このとき、$E_1 A = A'$ より、$A = E_1^{-1} A'$ となります。

$E_1$ の逆行列は、単位行列 $E$ の1行目を2倍した行列なので、$E_1^{-1} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ となります。

したがって、$A = E_1^{-1} A' =$(Eの1行目を2倍した行列)$\times A'$ となります。

3. 最終的な答え

A = (Eの1行目を2倍した行列) $\times A'$