与えられた3つの行列の階数を求めます。 (1) $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}$ (2) $\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}$ (3) $\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 4 \\ 2 & 3 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & 5 & 6 \\ 2 & -1 & 1 & 5 \end{pmatrix}$

代数学行列階数線形代数行基本変形行列式
2025/7/9

1. 問題の内容

与えられた3つの行列の階数を求めます。
(1) (112201121)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}
(2) (21112111a)\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}
(3) (1124231011562115)\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 4 \\ 2 & 3 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & 5 & 6 \\ 2 & -1 & 1 & 5 \end{pmatrix}

2. 解き方の手順

行列の階数は、その行列の線形独立な行(または列)の最大数です。行基本変形(行簡約化)によって階段行列に変形し、0でない行の数を数えることで階数を求めることができます。
(1) 行列 (112201121)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix} について、行基本変形を行います。
まず、2行目から1行目の2倍を引き、3行目から1行目を引きます。
(112023031)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & -2 & -3 \\ 0 & -3 & -1 \end{pmatrix}
次に、3行目から2行目の3/2倍を引きます。
(112023007/2)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & -2 & -3 \\ 0 & 0 & 7/2 \end{pmatrix}
この階段行列には0でない行が3つあるため、階数は3です。
(2) 行列 (21112111a)\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix} について、行列式を計算します。
21112111a=2(2a1)1(a1)+1(12)=4a2a+11=3a2\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & a \end{vmatrix} = 2(2a-1) - 1(a-1) + 1(1-2) = 4a - 2 - a + 1 - 1 = 3a - 2
3a2=03a-2 = 0 のとき、a=23a = \frac{2}{3} となります。このとき、行列式は0となり、階数は3未満になります。
a23a \neq \frac{2}{3} のとき、行列式は0でなく、階数は3です。
a=23a = \frac{2}{3} のとき、行列は (211121112/3)\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2/3 \end{pmatrix} となります。
1行目から2行目の2倍を引くと、(031121112/3)\begin{pmatrix} 0 & -3 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2/3 \end{pmatrix}
2行目から3行目を引くと、(211011/3112/3)\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1/3 \\ 1 & 1 & 2/3 \end{pmatrix}
(211121112/3)(112/3121211)(112/3011/3011/3)(112/3011/3000)\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2/3 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2/3 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2/3 \\ 0 & 1 & 1/3 \\ 0 & -1 & -1/3 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2/3 \\ 0 & 1 & 1/3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
したがって、a=23a = \frac{2}{3} のとき、階数は2です。
(3) 行列 (1124231011562115)\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 4 \\ 2 & 3 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & 5 & 6 \\ 2 & -1 & 1 & 5 \end{pmatrix} について、行基本変形を行います。
2行目から1行目の2倍を引き、3行目から1行目を引き、4行目から1行目の2倍を引きます。
(1124055800320133)\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 4 \\ 0 & 5 & -5 & -8 \\ 0 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & -3 & -3 \end{pmatrix}
4行目と2行目を入れ替えます。
(1124013300320558)\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & -3 & -3 \\ 0 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 5 & -5 & -8 \end{pmatrix}
4行目から2行目の5倍を引きます。
(11240133003200107)\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & -3 & -3 \\ 0 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 10 & 7 \end{pmatrix}
4行目から3行目の10/3倍を引きます。
(1124013300320001/3)\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & -3 & -3 \\ 0 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1/3 \end{pmatrix}
この階段行列には0でない行が4つあるため、階数は4です。

3. 最終的な答え

(1) 3
(2) a23a \neq \frac{2}{3} のとき 3, a=23a = \frac{2}{3} のとき 2
(3) 4

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