与えられた3つの行列の階数を求めます。 (1) $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}$ (2) $\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}$ (3) $\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 4 \\ 2 & 3 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & 5 & 6 \\ 2 & -1 & 1 & 5 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた3つの行列の階数を求めます。

(1) $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}$

(3) $\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 4 \\ 2 & 3 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & 5 & 6 \\ 2 & -1 & 1 & 5 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

行列の階数は、その行列の線形独立な行（または列）の最大数です。行基本変形（行簡約化）によって階段行列に変形し、0でない行の数を数えることで階数を求めることができます。

(1) 行列 $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}$ について、行基本変形を行います。

まず、2行目から1行目の2倍を引き、3行目から1行目を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & -2 & -3 \\ 0 & -3 & -1 \end{pmatrix}$

次に、3行目から2行目の3/2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & -2 & -3 \\ 0 & 0 & 7/2 \end{pmatrix}$

この階段行列には0でない行が3つあるため、階数は3です。

(2) 行列 $\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}$ について、行列式を計算します。

$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & a \end{vmatrix} = 2(2a-1) - 1(a-1) + 1(1-2) = 4a - 2 - a + 1 - 1 = 3a - 2$

$3a-2 = 0$ のとき、$a = \frac{2}{3}$ となります。このとき、行列式は0となり、階数は3未満になります。

$a \neq \frac{2}{3}$ のとき、行列式は0でなく、階数は3です。

$a = \frac{2}{3}$ のとき、行列は $\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2/3 \end{pmatrix}$ となります。

1行目から2行目の2倍を引くと、$\begin{pmatrix} 0 & -3 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2/3 \end{pmatrix}$

2行目から3行目を引くと、$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1/3 \\ 1 & 1 & 2/3 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2/3 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2/3 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2/3 \\ 0 & 1 & 1/3 \\ 0 & -1 & -1/3 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2/3 \\ 0 & 1 & 1/3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

したがって、$a = \frac{2}{3}$ のとき、階数は2です。

(3) 行列 $\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 4 \\ 2 & 3 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & 5 & 6 \\ 2 & -1 & 1 & 5 \end{pmatrix}$ について、行基本変形を行います。

2行目から1行目の2倍を引き、3行目から1行目を引き、4行目から1行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 4 \\ 0 & 5 & -5 & -8 \\ 0 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & -3 & -3 \end{pmatrix}$

4行目と2行目を入れ替えます。

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & -3 & -3 \\ 0 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 5 & -5 & -8 \end{pmatrix}$

4行目から2行目の5倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & -3 & -3 \\ 0 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 10 & 7 \end{pmatrix}$

4行目から3行目の10/3倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & -3 & -3 \\ 0 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1/3 \end{pmatrix}$

この階段行列には0でない行が4つあるため、階数は4です。

3. 最終的な答え

(1) 3

(2) $a \neq \frac{2}{3}$ のとき 3, $a = \frac{2}{3}$ のとき 2

(3) 4