2次関数 $f(x) = 2x^2 - 6x + a$ が与えられています。ここで、$a$ は定数です。 (1) $y=f(x)$ のグラフの軸を求める。 (2) $f(x)$ の最小値が $\frac{1}{2}$ であるとき、$a$ の値を求める。

代数学二次関数平方完成グラフ最小値
2025/7/9

1. 問題の内容

2次関数 f(x)=2x26x+af(x) = 2x^2 - 6x + a が与えられています。ここで、aa は定数です。
(1) y=f(x)y=f(x) のグラフの軸を求める。
(2) f(x)f(x) の最小値が 12\frac{1}{2} であるとき、aa の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) f(x)=2x26x+af(x) = 2x^2 - 6x + a を平方完成します。
f(x)=2(x23x)+af(x) = 2(x^2 - 3x) + a
f(x)=2(x23x+(32)2(32)2)+af(x) = 2\left(x^2 - 3x + \left(\frac{3}{2}\right)^2 - \left(\frac{3}{2}\right)^2\right) + a
f(x)=2((x32)294)+af(x) = 2\left(\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{4}\right) + a
f(x)=2(x32)292+af(x) = 2\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{2} + a
したがって、y=f(x)y = f(x) のグラフの軸は、直線 x=32x = \frac{3}{2} です。
(2) f(x)f(x) の最小値は 92+a-\frac{9}{2} + a です。問題より、最小値が 12\frac{1}{2} なので、
92+a=12-\frac{9}{2} + a = \frac{1}{2}
a=12+92a = \frac{1}{2} + \frac{9}{2}
a=102a = \frac{10}{2}
a=5a = 5

3. 最終的な答え

グラフの軸は x=32x = \frac{3}{2}
aa の値は 55

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