2次関数 $f(x) = 2x^2 - 6x + a$ が与えられています。ここで、$a$ は定数です。 (1) $y=f(x)$ のグラフの軸を求める。 (2) $f(x)$ の最小値が $\frac{1}{2}$ であるとき、$a$ の値を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = 2x^2 - 6x + a$ が与えられています。ここで、$a$ は定数です。

(1) $y=f(x)$ のグラフの軸を求める。

(2) $f(x)$ の最小値が $\frac{1}{2}$ であるとき、$a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = 2x^2 - 6x + a$ を平方完成します。

$f(x) = 2(x^2 - 3x) + a$

$f(x) = 2\left(x^2 - 3x + \left(\frac{3}{2}\right)^2 - \left(\frac{3}{2}\right)^2\right) + a$

$f(x) = 2\left(\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{4}\right) + a$

$f(x) = 2\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{2} + a$

したがって、$y = f(x)$ のグラフの軸は、直線 $x = \frac{3}{2}$ です。

(2) $f(x)$ の最小値は $-\frac{9}{2} + a$ です。問題より、最小値が $\frac{1}{2}$ なので、

$-\frac{9}{2} + a = \frac{1}{2}$

$a = \frac{1}{2} + \frac{9}{2}$

$a = \frac{10}{2}$

$a = 5$

3. 最終的な答え

グラフの軸は $x = \frac{3}{2}$

$a$ の値は $5$