与えられた対数の値を計算する問題です。具体的には、以下の10個の対数の値を求めます。 (1) $\log_2 8$ (2) $\log_{\frac{1}{3}} 9$ (3) $\log_3 \frac{1}{81}$ (4) $\log_{\frac{1}{5}} 25$ (5) $\log_{\sqrt{2}} 16$ (6) $\log_7 7\sqrt{7}$ (7) $\log_3 \frac{1}{3\sqrt{3}}$ (8) $\log_2 \sqrt[3]{2}$ (9) $\log_3 \sqrt[5]{81}$ (10) $\log_5 \frac{1}{\sqrt[3]{5}}$

1. 問題の内容

与えられた対数の値を計算する問題です。具体的には、以下の10個の対数の値を求めます。

(1) $\log_2 8$

(2) $\log_{\frac{1}{3}} 9$

(3) $\log_3 \frac{1}{81}$

(4) $\log_{\frac{1}{5}} 25$

(5) $\log_{\sqrt{2}} 16$

(6) $\log_7 7\sqrt{7}$

(7) $\log_3 \frac{1}{3\sqrt{3}}$

(8) $\log_2 \sqrt[3]{2}$

(9) $\log_3 \sqrt[5]{81}$

(10) $\log_5 \frac{1}{\sqrt[3]{5}}$

2. 解き方の手順

対数の定義 $y = \log_a x \Leftrightarrow x = a^y$ を利用して各問題を解きます。

(1) $\log_2 8 = \log_2 2^3 = 3$

(2) $\log_{\frac{1}{3}} 9 = \log_{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3})^{-2} = -2$

(3) $\log_3 \frac{1}{81} = \log_3 3^{-4} = -4$

(4) $\log_{\frac{1}{5}} 25 = \log_{\frac{1}{5}} (\frac{1}{5})^{-2} = -2$

(5) $\log_{\sqrt{2}} 16 = \log_{2^{\frac{1}{2}}} 2^4 = \log_{2^{\frac{1}{2}}} (2^{\frac{1}{2}})^8 = 8$

(6) $\log_7 7\sqrt{7} = \log_7 (7 \cdot 7^{\frac{1}{2}}) = \log_7 7^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2}$

(7) $\log_3 \frac{1}{3\sqrt{3}} = \log_3 \frac{1}{3 \cdot 3^{\frac{1}{2}}} = \log_3 \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} = \log_3 3^{-\frac{3}{2}} = -\frac{3}{2}$

(8) $\log_2 \sqrt[3]{2} = \log_2 2^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{3}$

(9) $\log_3 \sqrt[5]{81} = \log_3 \sqrt[5]{3^4} = \log_3 3^{\frac{4}{5}} = \frac{4}{5}$

(10) $\log_5 \frac{1}{\sqrt[3]{5}} = \log_5 \frac{1}{5^{\frac{1}{3}}} = \log_5 5^{-\frac{1}{3}} = -\frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

(1) 3

(2) -2

(3) -4

(4) -2

(5) 8

(6) $\frac{3}{2}$

(7) $-\frac{3}{2}$

(8) $\frac{1}{3}$

(9) $\frac{4}{5}$

(10) $-\frac{1}{3}$