$x, y$ は実数とします。以下の (1)〜(4) の文について、左側の命題が右側の命題であるための必要条件、十分条件、必要十分条件、またはそのいずれでもないかを判断します。 (1) $xy = 0$ は $x = 0$ であるための？ (2) $xy \neq 0$ は $x \neq 0$ であるための？ (3) $xy > 1$ は $x > 1$ であるための？ (4) $\triangle ABC$ の3辺が等しいことは、$\triangle ABC$ の3つの角が等しいためための？ 選択肢は以下の通りです。 (ア) 必要十分条件である (イ) 必要条件であるが十分条件ではない (ウ) 十分条件であるが必要条件ではない (エ) 必要条件でも十分条件でもない

1. 問題の内容

$x, y$ は実数とします。以下の (1)〜(4) の文について、左側の命題が右側の命題であるための必要条件、十分条件、必要十分条件、またはそのいずれでもないかを判断します。

(1) $xy = 0$ は $x = 0$ であるための？

(2) $xy \neq 0$ は $x \neq 0$ であるための？

(3) $xy > 1$ は $x > 1$ であるための？

(4) $\triangle ABC$ の3辺が等しいことは、$\triangle ABC$ の3つの角が等しいためための？

選択肢は以下の通りです。

(ア) 必要十分条件である

(イ) 必要条件であるが十分条件ではない

(ウ) 十分条件であるが必要条件ではない

(エ) 必要条件でも十分条件でもない

2. 解き方の手順

(1) $xy = 0$ ならば、$x = 0$ または $y = 0$ です。したがって、$x = 0$ は必ずしも成り立ちません。例えば、$x = 1, y = 0$ ならば $xy = 0$ ですが、$x \neq 0$ です。

一方、$x = 0$ ならば、$xy = 0$ が成り立ちます。よって、$x=0$ は $xy=0$ であるための十分条件です。

したがって、$xy = 0$ は $x = 0$ であるための必要条件であるが十分条件ではありません。(イ)

(2) $xy \neq 0$ ならば、$x \neq 0$ かつ $y \neq 0$ です。したがって、$x \neq 0$ は成り立ちます。

一方、$x \neq 0$ でも $xy \neq 0$ とは限りません。例えば、$x = 1, y = 0$ ならば $x \neq 0$ ですが、$xy = 0$ です。したがって、$x \neq 0$ は $xy \neq 0$ であるための必要条件ではありません。

よって、$xy \neq 0$ は $x \neq 0$ であるための十分条件であるが必要条件ではありません。(ウ)

(3) $xy > 1$ でも $x > 1$ とは限りません。例えば、$x = -2, y = -1$ ならば $xy = 2 > 1$ ですが、$x < 1$ です。

一方、$x > 1$ でも $xy > 1$ とは限りません。例えば、$x = 2, y = 0.1$ ならば $x > 1$ ですが、$xy = 0.2 < 1$ です。

よって、$xy > 1$ は $x > 1$ であるための必要条件でも十分条件でもありません。(エ)

(4) $\triangle ABC$ の3辺が等しいことは、$\triangle ABC$ が正三角形であることを意味します。正三角形ならば、3つの角は全て $60^\circ$ で等しくなります。

一方、$\triangle ABC$ の3つの角が等しいならば、$\triangle ABC$ は正三角形であり、3辺は等しくなります。

したがって、$\triangle ABC$ の3辺が等しいことは、$\triangle ABC$ の3つの角が等しいためめの必要十分条件です。(ア)

3. 最終的な答え

(1) イ

(2) ウ

(3) エ

(4) ア