与えられた2次関数について、軸、頂点、そしてグラフが下に凸か上に凸かを求める問題です。今回は、写真に書かれている問題(3) $y = -x^2 - 4x + 1$ を解きます。

1. 問題の内容

与えられた2次関数について、軸、頂点、そしてグラフが下に凸か上に凸かを求める問題です。今回は、写真に書かれている問題(3) $y = -x^2 - 4x + 1$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、2次関数を平方完成します。

$y = -x^2 - 4x + 1$ の式から、$x^2$ の係数である $-1$ を括り出します。

$y = -(x^2 + 4x) + 1$

次に、括弧の中を平方完成させます。$x^2 + 4x$ を $(x + a)^2$ の形にするには、$a = \frac{4}{2} = 2$ とすれば良いので、$(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$ となります。

したがって、$x^2 + 4x = (x+2)^2 - 4$ です。これを元の式に代入すると、

$y = -((x+2)^2 - 4) + 1$

括弧を外すと、

$y = -(x+2)^2 + 4 + 1$

$y = -(x+2)^2 + 5$

この式は、頂点が $(-2, 5)$ であり、軸が $x = -2$ であることを示しています。

また、$x^2$ の係数が負であるため、グラフは上に凸となります。

3. 最終的な答え

軸: $x = -2$

頂点: $(-2, 5)$

上に凸