2つの直線 $ax + 2y + 3a = 0$ と $(3-a)x + (a-1)y + 2 = 0$ について、以下の条件を満たすように定数 $a$ の値を求めます。ただし、$a \neq 1$ とします。 (1) 2直線が平行 (2) 2直線が垂直

1. 問題の内容

2つの直線 $ax + 2y + 3a = 0$ と $(3-a)x + (a-1)y + 2 = 0$ について、以下の条件を満たすように定数 $a$ の値を求めます。ただし、$a \neq 1$ とします。

(1) 2直線が平行

(2) 2直線が垂直

2. 解き方の手順

(1) 2直線が平行である条件

2つの直線 $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ と $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ が平行である条件は、

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ です。

この問題では、$a_1 = a$, $b_1 = 2$, $a_2 = 3-a$, $b_2 = a-1$ ですから、

$\frac{a}{3-a} = \frac{2}{a-1}$ を満たす必要があります。

$a(a-1) = 2(3-a)$

$a^2 - a = 6 - 2a$

$a^2 + a - 6 = 0$

$(a+3)(a-2) = 0$

$a = -3$ または $a = 2$

$a = -3$ のとき、$\frac{a}{3-a} = \frac{-3}{3-(-3)} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}$

$\frac{c_1}{c_2} = \frac{3a}{2} = \frac{3(-3)}{2} = -\frac{9}{2}$ なので $\frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ を満たします。

$a = 2$ のとき、$\frac{a}{3-a} = \frac{2}{3-2} = \frac{2}{1} = 2$

$\frac{c_1}{c_2} = \frac{3a}{2} = \frac{3(2)}{2} = 3$ なので $\frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ を満たします。

したがって、$a=-3, 2$です。

(2) 2直線が垂直である条件

2つの直線 $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ と $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ が垂直である条件は、

$a_1a_2 + b_1b_2 = 0$ です。

この問題では、$a_1 = a$, $b_1 = 2$, $a_2 = 3-a$, $b_2 = a-1$ ですから、

$a(3-a) + 2(a-1) = 0$

$3a - a^2 + 2a - 2 = 0$

$-a^2 + 5a - 2 = 0$

$a^2 - 5a + 2 = 0$

$a = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 8}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $a = -3, 2$

(2) $a = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{2}$