箱Aには赤球4個、白球2個、箱Bには赤球1個、白球3個が入っている。 (1) 箱Aから球を1個取り出し、それを箱Bに入れた後、箱Bから球を1個取り出すとき、それが赤球である確率を求めよ。 (2) 箱Aから球を1個取り出し、それを箱Bに入れた後、箱Bから球を1個取り出し、それを箱Aに入れる。このとき、箱Aの赤玉の個数が最初と変わらない確率を求めよ。

1. 問題の内容

箱Aには赤球4個、白球2個、箱Bには赤球1個、白球3個が入っている。

(1) 箱Aから球を1個取り出し、それを箱Bに入れた後、箱Bから球を1個取り出すとき、それが赤球である確率を求めよ。

(2) 箱Aから球を1個取り出し、それを箱Bに入れた後、箱Bから球を1個取り出し、それを箱Aに入れる。このとき、箱Aの赤玉の個数が最初と変わらない確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

箱Aから球を1個取り出して箱Bに入れる。次に箱Bから球を1個取り出すとき、それが赤球である確率を求める。

箱Aから取り出す球が赤球である場合と白球である場合に分けて考える。

箱Aから赤球を取り出す確率は $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ である。このとき、箱Bには赤球2個、白球3個が入っているので、箱Bから赤球を取り出す確率は $\frac{2}{5}$ である。したがって、この場合の確率は $\frac{2}{3} \times \frac{2}{5} = \frac{4}{15}$ である。

箱Aから白球を取り出す確率は $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ である。このとき、箱Bには赤球1個、白球4個が入っているので、箱Bから赤球を取り出す確率は $\frac{1}{5}$ である。したがって、この場合の確率は $\frac{1}{3} \times \frac{1}{5} = \frac{1}{15}$ である。

よって、箱Bから取り出した球が赤球である確率は $\frac{4}{15} + \frac{1}{15} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$ である。

(2)

箱Aから球を1個取り出して箱Bに入れ、箱Bから球を1個取り出して箱Aに入れる。このとき、箱Aの赤玉の個数が最初と変わらない確率を求める。

これは、箱Aから赤球を取り出し箱Bに入れ、箱Bから白球を取り出して箱Aに入れる場合と、箱Aから白球を取り出し箱Bに入れ、箱Bから赤球を取り出して箱Aに入れる場合の2通りがある。

箱Aから赤球を取り出す確率は $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ である。このとき、箱Bには赤球2個、白球3個が入っているので、箱Bから白球を取り出す確率は $\frac{3}{5}$ である。したがって、この場合の確率は $\frac{2}{3} \times \frac{3}{5} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$ である。

箱Aから白球を取り出す確率は $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ である。このとき、箱Bには赤球1個、白球4個が入っているので、箱Bから赤球を取り出す確率は $\frac{1}{5}$ である。したがって、この場合の確率は $\frac{1}{3} \times \frac{1}{5} = \frac{1}{15}$ である。

よって、箱Aの赤玉の個数が最初と変わらない確率は $\frac{2}{5} + \frac{1}{15} = \frac{6}{15} + \frac{1}{15} = \frac{7}{15}$ である。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{3}$

(2) $\frac{7}{15}$