関数 $y = \frac{(2x+3)^2}{(x-1)^3}$ を微分して $\frac{dy}{dx}$ を求めよ。

## 問2 微分

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{(2x+3)^2}{(x-1)^3}$ を微分して $\frac{dy}{dx}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

商の微分公式を用いて微分する。商の微分公式は、

$\frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{v \frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2}$

である。ここで $u = (2x+3)^2$ , $v = (x-1)^3$ とおく。

まず、$u$ を微分する。

$\frac{du}{dx} = 2(2x+3) \cdot 2 = 4(2x+3) = 8x+12$

次に、$v$ を微分する。

$\frac{dv}{dx} = 3(x-1)^2 \cdot 1 = 3(x-1)^2$

これらの結果を商の微分公式に代入する。

$\frac{dy}{dx} = \frac{(x-1)^3 (8x+12) - (2x+3)^2 (3(x-1)^2)}{(x-1)^6}$

分子を整理する。

$\frac{dy}{dx} = \frac{(x-1)^2 [(x-1) (8x+12) - 3(2x+3)^2]}{(x-1)^6}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{(x-1) (8x+12) - 3(4x^2+12x+9)}{(x-1)^4}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{8x^2 + 12x - 8x - 12 - 12x^2 - 36x - 27}{(x-1)^4}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-4x^2 - 32x - 39}{(x-1)^4}$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{4x^2 + 32x + 39}{(x-1)^4}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\frac{4x^2 + 32x + 39}{(x-1)^4}$