関数 $y = \log_3 x$ において、$\frac{1}{3} < x \le 3\sqrt{3}$ の範囲での $y$ の値域を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \log_3 x$ において、$\frac{1}{3} < x \le 3\sqrt{3}$ の範囲での $y$ の値域を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた範囲の $x$ の値に対して、$y = \log_3 x$ の値を計算します。

$x$ の最小値は $\frac{1}{3}$ より大きいですが、$\frac{1}{3}$ に非常に近い値であると考えることができます。このとき、

$y = \log_3 \frac{1}{3} = \log_3 3^{-1} = -1$ となります。

したがって、$x > \frac{1}{3}$ のとき、$y > -1$ となります。

$x$ の最大値は $3\sqrt{3}$ です。このとき、

$y = \log_3 (3\sqrt{3}) = \log_3 (3 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) = \log_3 (3^{\frac{3}{2}}) = \frac{3}{2}$ となります。

したがって、$x \le 3\sqrt{3}$ のとき、$y \le \frac{3}{2}$ となります。

以上より、$y$ の値域は $-1 < y \le \frac{3}{2}$ となります。

3. 最終的な答え

$-1 < y \le \frac{3}{2}$