関数 $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ の、$ \frac{1}{81} < x \leq 9$ における値域を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ の、$\frac{1}{81} < x \leq 9$ における値域を求める。

2. 解き方の手順

まず、底が$\frac{1}{3}$なので、関数$y = \log_{\frac{1}{3}} x$は減少関数である。

したがって、$x$が大きくなると$y$は小さくなり、$x$が小さくなると$y$は大きくなる。

次に、$x$の範囲の端の値を代入して、$y$の値を求める。

$x = \frac{1}{81}$のとき、$y = \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{81} = \log_{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3})^4 = 4$

$x = 9$のとき、$y = \log_{\frac{1}{3}} 9 = \log_{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3})^{-2} = -2$

ただし、$x = \frac{1}{81}$のときは不等号に=が含まれていないので、$y < 4$となる。

$x = 9$のときは不等号に=が含まれているので、$y = -2$となる。

したがって、値域は $-2 \leq y < 4$である。

3. 最終的な答え

$-2 \leq y < 4$