* $x^2 - x = x - 1$ を整理すると、$x^2 - 2x + 1 = 0$ となり、$(x - 1)^2 = 0$ となる。したがって、$x = 1$ 。 * 元の命題は真である。

## 問題の回答

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6. 問題の内容

$x$ は実数とする。命題「$x^2 - x = x - 1 \implies x = 1$」の逆、対偶、裏を述べ、それらの真偽を調べよ。

### 解き方の手順

1. 元の命題: $x^2 - x = x - 1 \implies x = 1$

* $x^2 - x = x - 1$ を整理すると、$x^2 - 2x + 1 = 0$ となり、$(x - 1)^2 = 0$ となる。したがって、$x = 1$ 。

* 元の命題は真である。

2. 逆: $x = 1 \implies x^2 - x = x - 1$

* $x = 1$ のとき、$x^2 - x = 1^2 - 1 = 0$ であり、$x - 1 = 1 - 1 = 0$ である。したがって、$x^2 - x = x - 1$ は成り立つ。

* 逆は真である。

3. 対偶: $x \neq 1 \implies x^2 - x \neq x - 1$

* 対偶は元の命題が真であるとき真であり、偽であるとき偽である。

* 元の命題は真であるため、対偶は真である。

4. 裏: $x^2 - x \neq x - 1 \implies x \neq 1$

* 裏は逆が真であるとき真であり、偽であるとき偽である。

* 逆は真であるため、裏は真である。

### 最終的な答え

* 元の命題: $x^2 - x = x - 1 \implies x = 1$ (真)

* 逆: $x = 1 \implies x^2 - x = x - 1$ (真)

* 対偶: $x \neq 1 \implies x^2 - x \neq x - 1$ (真)

* 裏: $x^2 - x \neq x - 1 \implies x \neq 1$ (真)

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7. 問題の内容

次の命題Pの否定を述べ、その真偽を調べよ。

(1) P:「すべての整数 $x$ について、$x^2 > 0$ である。」

(2) P:「ある素数 $x$ について、$x$ は偶数である。」

### 解き方の手順

(1)

* 命題P: 「すべての整数 $x$ について、$x^2 > 0$ である。」

* 否定: 「ある整数 $x$ について、$x^2 \leq 0$ である。」

* $x = 0$ のとき、$x^2 = 0^2 = 0$ であるため、$x^2 \leq 0$ を満たす $x$ が存在する。

* したがって、否定は真である。元の命題は偽である。

(2)

* 命題P: 「ある素数 $x$ について、$x$ は偶数である。」

* 否定: 「すべての素数 $x$ について、$x$ は奇数である。」

* 素数は $2, 3, 5, 7, 11, ...$ である。

* $x = 2$ は素数であり、偶数である。したがって、命題Pは真である。

* したがって、否定は偽である。

### 最終的な答え

(1)

* 否定: ある整数 $x$ について、$x^2 \leq 0$ である。 (真)

(2)

* 否定: すべての素数 $x$ について、$x$ は奇数である。 (偽)

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8. 問題の内容

nを整数とするとき、$n^2$ が3の倍数ならば、$n$ は3の倍数であることを証明せよ。

### 解き方の手順

対偶を証明する。

対偶: $n$ が3の倍数でないならば、$n^2$ は3の倍数でない。

$n$ が3の倍数でないとき、$n$ は $3k + 1$ または $3k + 2$ (kは整数) で表される。

1. $n = 3k + 1$ のとき、

$n^2 = (3k + 1)^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1$

これは3の倍数ではない。

2. $n = 3k + 2$ のとき、

$n^2 = (3k + 2)^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 9k^2 + 12k + 3 + 1 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1$

これも3の倍数ではない。

したがって、$n$ が3の倍数でないならば、$n^2$ は3の倍数でない。

対偶が真であるから、元の命題も真である。

### 最終的な答え

$n^2$ が3の倍数ならば、$n$ は3の倍数である。 (証明終わり)