8個の数字 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3 をすべて使って8桁の整数を作るとき、何個の整数を作ることができるか。

## 問題6

1. 問題の内容

8個の数字 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3 をすべて使って8桁の整数を作るとき、何個の整数を作ることができるか。

2. 解き方の手順

これは同じものを含む順列の問題です。

8桁の数字を作るので、8個の場所があります。

もしすべての数字が異なれば、8!通りの並べ方があります。

しかし、1が3つ、2が3つ、3が2つあるため、重複を解消する必要があります。

まず、8個の数字を並べる方法は 8! 通りです。

次に、1の並び替えの重複を解消するために、3! で割ります。

同様に、2の並び替えの重複を解消するために、3! で割ります。

最後に、3の並び替えの重複を解消するために、2! で割ります。

したがって、求める整数の個数は、

$\frac{8!}{3! \times 3! \times 2!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1) \times (3 \times 2 \times 1) \times (2 \times 1)} = \frac{40320}{6 \times 6 \times 2} = \frac{40320}{72} = 560$

3. 最終的な答え

560 個