問題3: 数列 $3, 6, 11, 18, 27, \dots$ について、(1) 第6項と第7項を求め、(2) 一般項を求めよ。 問題4: 初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = n^2 + 4n$ で表される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

1. 問題の内容

問題3: 数列 $3, 6, 11, 18, 27, \dots$ について、(1) 第6項と第7項を求め、(2) 一般項を求めよ。

問題4: 初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = n^2 + 4n$ で表される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

2. 解き方の手順

問題3:

(1) 階差数列を考える。与えられた数列を $\{a_n\}$ とすると、$a_1 = 3, a_2 = 6, a_3 = 11, a_4 = 18, a_5 = 27, \dots$ である。階差数列 $\{b_n\}$ は $b_n = a_{n+1} - a_n$ で与えられる。したがって、$b_1 = 6-3 = 3, b_2 = 11-6 = 5, b_3 = 18-11 = 7, b_4 = 27-18 = 9, \dots$ となる。階差数列 $\{b_n\}$ は初項が3、公差が2の等差数列であると推測される。すると、$b_n = 3 + (n-1)2 = 2n+1$ となる。したがって、第6項は $a_6 = a_5 + b_5 = 27 + (2\cdot5+1) = 27 + 11 = 38$ であり、第7項は $a_7 = a_6 + b_6 = 38 + (2\cdot6+1) = 38 + 13 = 51$ である。

(2) 一般項 $a_n$ を求める。$n \ge 2$ のとき、

$$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = 3 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k+1) = 3 + 2\sum_{k=1}^{n-1} k + \sum_{k=1}^{n-1} 1$$

$$= 3 + 2\frac{(n-1)n}{2} + (n-1) = 3 + n^2 - n + n - 1 = n^2 + 2$$

$n=1$ のとき $a_1 = 1^2 + 2 = 3$ なので、$n=1$ のときも成り立つ。したがって、一般項は $a_n = n^2 + 2$ である。

問題4:

$S_n = n^2 + 4n$ である。$n \ge 2$ のとき、

$a_n = S_n - S_{n-1} = (n^2 + 4n) - ((n-1)^2 + 4(n-1)) = (n^2 + 4n) - (n^2 - 2n + 1 + 4n - 4) = n^2 + 4n - n^2 + 2n - 1 - 4n + 4 = 2n + 3$

$n=1$ のとき、$a_1 = S_1 = 1^2 + 4(1) = 5$ であり、$2(1) + 3 = 5$ なので、$n=1$ のときも成り立つ。したがって、一般項は $a_n = 2n + 3$ である。

3. 最終的な答え

問題3:

(1) 第6項: 38, 第7項: 51

(2) 一般項: $a_n = n^2 + 2$

問題4:

一般項: $a_n = 2n + 3$