(i) 関数 $f(x) = 4^x - 11 \cdot 2^x + 24$ について、$2^x = t$ とおくとき、$f(x)$ を $t$ の式で表し、$f(x) = 0$ となる $x$ の値を求める。 (ii) 方程式 $2 \log_3 x = \log_3 (6-x)$ を満たす $x$ の値を、選択肢から選ぶ。

1. 問題の内容

(i) 関数 $f(x) = 4^x - 11 \cdot 2^x + 24$ について、$2^x = t$ とおくとき、$f(x)$ を $t$ の式で表し、$f(x) = 0$ となる $x$ の値を求める。

(ii) 方程式 $2 \log_3 x = \log_3 (6-x)$ を満たす $x$ の値を、選択肢から選ぶ。

2. 解き方の手順

(i)

まず、$4^x = (2^x)^2 = t^2$ であるから、$f(x)$ を $t$ で表すと、

$f(x) = t^2 - 11t + 24$

したがって、$10=2$, $11=11$, $12=1$, $13=2$, $14=4$ となる。

次に、$f(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$f(x) = t^2 - 11t + 24 = 0$

$(t - 3)(t - 8) = 0$

$t = 3, 8$

$2^x = 3$ のとき、$x = \log_2 3$

$2^x = 8$ のとき、$2^x = 2^3$ より $x = 3$

したがって、$15=3$, $16=2$, $17=3$ となる。

(ii)

$2 \log_3 x = \log_3 (6-x)$

$\log_3 x^2 = \log_3 (6-x)$

$x^2 = 6 - x$

$x^2 + x - 6 = 0$

$(x + 3)(x - 2) = 0$

$x = -3, 2$

ただし、対数の真数条件より、$x > 0$ かつ $6 - x > 0$ である必要がある。

したがって、$x > 0$ かつ $x < 6$ より、$0 < x < 6$

$x = -3$ はこの範囲を満たさないので、不適である。

$x = 2$ は $0 < x < 6$ を満たすので、解である。

したがって、$18=2$

3. 最終的な答え

(i) $f(x) = t^2 - 11t + 24$

$x = 3, \log_2 3$

(ii) $x = 2$ (選択肢②)