$m < n$ のとき、$n$ 変数で $m$ 個の方程式からなる同次連立一次方程式は、非自明な解をもつことを定理 2-9 などを利用して証明する。

1. 問題の内容

$m < n$ のとき、$n$ 変数で $m$ 個の方程式からなる同次連立一次方程式は、非自明な解をもつことを定理 2-9 などを利用して証明する。

2. 解き方の手順

同次連立一次方程式は、必ず自明な解 $(0, 0, ..., 0)$ を持ちます。したがって、非自明な解を持つかどうかを調べることは、解が一意でないことを示すことと同値です。

$m$ 個の $n$ 変数の同次連立一次方程式は、行列を用いて $Ax = 0$ と表すことができます。ここで、$A$ は $m \times n$ 行列、$x$ は $n$ 次元列ベクトル、$0$ は $m$ 次元零ベクトルです。

行列 $A$ の階数 (rank) を $r$ とします。階数 $r$ は、行列 $A$ の線形独立な行ベクトルの最大数、または線形独立な列ベクトルの最大数です。階数の定義から、$r \leq m$ および $r \leq n$ が成り立ちます。

$Ax = 0$ の解空間の次元は、$n - r$ です。これは、線形代数の基本的な定理です（次元定理）。

問題の条件 $m < n$ より、$r \leq m < n$ なので、$n - r > 0$ となります。したがって、解空間の次元 $n - r$ は正の数であり、解空間は自明な解 $(0, 0, ..., 0)$ 以外のベクトルを含みます。これは、$Ax = 0$ が非自明な解を持つことを意味します。

3. 最終的な答え

$m < n$ のとき、$n$ 変数で $m$ 個の方程式からなる同次連立一次方程式は、非自明な解をもつ。