ある数学の試験のA, B, C組の男女別の平均点が与えられている。 (1) A組の平均点を求め、B組の平均点がA組の平均点と等しいときのxの値を求める。 (2) C組の平均点がA組の平均点以上で、B組の合計得点とC組の合計得点の差が300点以上となるようなxの値をすべて求める。 (3) 後日、C組の男子2人が試験を受け、その得点の和がk点だったとき、当初C組の平均点がA組の平均点以上であったが、この2人の得点を加えて計算し直したところ、C組の平均点がA組の平均点より低くなった。このとき、xの値がただ1つに定まるようなkの値をすべて求める。

1. 問題の内容

ある数学の試験のA, B, C組の男女別の平均点が与えられている。

(1) A組の平均点を求め、B組の平均点がA組の平均点と等しいときのxの値を求める。

(2) C組の平均点がA組の平均点以上で、B組の合計得点とC組の合計得点の差が300点以上となるようなxの値をすべて求める。

(3) 後日、C組の男子2人が試験を受け、その得点の和がk点だったとき、当初C組の平均点がA組の平均点以上であったが、この2人の得点を加えて計算し直したところ、C組の平均点がA組の平均点より低くなった。このとき、xの値がただ1つに定まるようなkの値をすべて求める。

2. 解き方の手順

(1)

A組の平均点は、(男子の得点合計 + 女子の得点合計) / (男子の人数 + 女子の人数) で求められる。

A組の男子の得点合計は $32 \times 60 = 1920$ 点、女子の得点合計は $8 \times 70 = 560$ 点。

A組の受験者数は $32 + 8 = 40$ 人。

A組の平均点は $\frac{1920 + 560}{40} = \frac{2480}{40} = 62$ 点。

B組の平均点を計算する。

B組の男子の得点合計は $(40 - x) \times 65 = 2600 - 65x$ 点。

B組の女子の得点合計は $x \times 55 = 55x$ 点。

B組の受験者数は $(40 - x) + x = 40$ 人。

B組の平均点は $\frac{2600 - 65x + 55x}{40} = \frac{2600 - 10x}{40}$ 点。

B組の平均点がA組の平均点と等しいので、

$\frac{2600 - 10x}{40} = 62$

$2600 - 10x = 2480$

$10x = 120$

$x = 12$

(2)

C組の平均点を計算する。

C組の男子の得点合計は $(x + 5) \times 59 = 59x + 295$ 点。

C組の女子の得点合計は $(40 - x) \times 64 = 2560 - 64x$ 点。

C組の受験者数は $(x + 5) + (40 - x) = 45$ 人。

C組の平均点は $\frac{59x + 295 + 2560 - 64x}{45} = \frac{2855 - 5x}{45}$ 点。

C組の平均点がA組の平均点以上なので、

$\frac{2855 - 5x}{45} \geq 62$

$2855 - 5x \geq 2790$

$65 \geq 5x$

$13 \geq x$

$x \leq 13$

B組の合計得点は $2600 - 10x$ 点。

C組の合計得点は $2855 - 5x$ 点。

B組の合計得点とC組の合計得点の差が300点以上なので、

$| (2600 - 10x) - (2855 - 5x) | \geq 300$

$| -255 - 5x | \geq 300$

$| 255 + 5x | \geq 300$

$255 + 5x \geq 300$ または $255 + 5x \leq -300$

$5x \geq 45$ または $5x \leq -555$

$x \geq 9$ または $x \leq -111$

ただし、$1 \leq x \leq 39$ なので、$x \geq 9$。

$x \leq 13$ かつ $x \geq 9$ を満たす整数は $x = 9, 10, 11, 12, 13$。

(3)

C組の2人の男子の得点の和がk点のとき、C組の平均点は $\frac{2855 - 5x + k}{47}$ となる。

当初、C組の平均点がA組の平均点以上であったが、2人の得点を加えて計算し直したところ、C組の平均点がA組の平均点より低くなったので、

$\frac{2855 - 5x}{45} \geq 62$ かつ $\frac{2855 - 5x + k}{47} < 62$

$2855 - 5x \geq 2790$ かつ $2855 - 5x + k < 2914$

$65 \geq 5x$ かつ $k < 59 + 5x$

$13 \geq x$ かつ $k < 59 + 5x$

$x$の値がただ1つに定まるような$k$の値を求める。$1 \leq x \leq 13$なので、$x$は整数である。

$x$は整数なので、$k$が整数でなくても良い。

$k = 59 + 5x$のとき、$x$が変化すれば、$k$も変化する。$x$がただ一つに決まるためには、$59+5x$が$x$の関数として単調増加であることから、$k$がある特定の値の範囲にあれば良い。

$\frac{2855 - 5x}{45} \geq 62$を満たす最大の$x$の値は13である。

$\frac{2855 - 5x + k}{47} < 62$を満たす最小の$x$の値を求めたい。

$59 + 5x > k$より、$59 + 5x > k$を満たす最小の整数xを求める。$x= \lfloor\frac{k-59}{5} \rfloor + 1$

ただし、$1 \leq x \leq 13$であるので、 $x = max(1, min(13, \lfloor\frac{k-59}{5} \rfloor + 1 ))$

$k$の値が一つに定まるということは、$\lfloor\frac{k-59}{5} \rfloor + 1 = x$となる$x$が$1 \leq x \leq 13$の範囲に一つだけ存在するときである。

$x = 1$のとき、$k < 59 + 5(1) = 64$

$x = 13$のとき、$k < 59 + 5(13) = 124$

$x$ が一つに定まるための条件を整理すると、$59 + 5(x-1) \leq k < 59 + 5x$となる。

$x=13$のとき、$59 + 5(12) \leq k < 59 + 5(13)$となり、$119 \leq k < 124$となる。

このとき、kの値が一つに定まるようなkの範囲は、$59 + 5 \le k < 64$, $64 \le k < 69, ..., 114 \le k < 119, 119 \le k < 124$

各範囲で整数である最小のkの値は、$k=64, 69, 74, ..., 119$.

これらの値は、全てxの値が1つに定まるようなkの値である。

このとき、k=64, 69, 74, 79, 84, 89, 94, 99, 104, 109, 114, 119となる。

k = 64のとき x=2, k=119のとき x=

1

3.

3. 最終的な答え

(1) A組の平均点は62点、$x=12$

(2) $x = 9, 10, 11, 12, 13$

(3) $k = 64, 69, 74, 79, 84, 89, 94, 99, 104, 109, 114, 119$