与えられた行列式の値を計算する問題です。具体的には、(1) 2x2行列, (2) 双曲線関数を含む2x2行列, (3) 4x4行列の行列式を計算します。

1. 問題の内容

与えられた行列式の値を計算する問題です。具体的には、(1) 2x2行列, (2) 双曲線関数を含む2x2行列, (3) 4x4行列の行列式を計算します。

2. 解き方の手順

(1) 2x2行列の行列式は、$ad-bc$で計算できます。

(2) 双曲線関数の行列式は、$cosh^2 φ - sinh^2 φ$で計算できます。双曲線関数の定義$cosh φ = (e^φ + e^{-φ})/2$と$sinh φ = (e^φ - e^{-φ})/2$を使うと、$cosh^2 φ - sinh^2 φ = 1$となります。

(3) 4x4行列の行列式は、行または列に関する余因子展開を用いて計算できます。ここでは、第1列に関する余因子展開を行います。

(1)

与えられた行列は、

$\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ -4 & -1 \end{vmatrix}$

したがって、行列式は $2*(-1) - 3*(-4) = -2 + 12 = 10$

(2)

与えられた行列は、

$\begin{vmatrix} coshφ & sinhφ \\ sinhφ & coshφ \end{vmatrix}$

したがって、行列式は $cosh^2φ - sinh^2φ = 1$

(3)

与えられた行列は、

$\begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$

第1列で展開すると、

$1 \times \begin{vmatrix} 0 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} -0 \times ... + (-1) \times \begin{vmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} - 1 \times \begin{vmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & 1 \end{vmatrix}$

ここで、

$\begin{vmatrix} 0 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0 \times (-1-1) -(-1) \times (-1-1) + 1 \times (-1+1) = 0 + (-2) + 0 = -2$

$\begin{vmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$ (2行が同じなので)

$\begin{vmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 0$ (2行が同じなので)

したがって、$1 \times (-2) - 0 + (-1) \times 0 - 1 \times 0 = -2$

3. 最終的な答え

(1) 10

(2) 1

(3) -2