$K$上の7次元ベクトル空間$V$から3次元ベクトル空間$W$への線形写像$f:V \rightarrow W$について、$\dim \text{Ker}(f)$がとりうる値をすべて求める。

1. 問題の内容

$K$上の7次元ベクトル空間$V$から3次元ベクトル空間$W$への線形写像$f:V \rightarrow W$について、$\dim \text{Ker}(f)$がとりうる値をすべて求める。

2. 解き方の手順

線形写像の次元定理を使用します。次元定理は、線形写像$f: V \rightarrow W$に対して、

$$\dim V = \dim \text{Ker}(f) + \dim \text{Im}(f)$$

が成り立つというものです。

ここで、

- $\dim V = 7$ （問題文より）

- $\text{Im}(f)$ は$W$の部分空間であるため、$\dim \text{Im}(f) \leq \dim W = 3$となります。

- $\dim \text{Ker}(f) \geq 0$

次元定理より、

$$7 = \dim \text{Ker}(f) + \dim \text{Im}(f)$$

したがって、$\dim \text{Ker}(f) = 7 - \dim \text{Im}(f)$となります。

$\dim \text{Im}(f)$は0から3までの整数値を取りうるので、$\dim \text{Ker}(f)$の取りうる値は、

- $\dim \text{Im}(f) = 0$のとき、$\dim \text{Ker}(f) = 7 - 0 = 7$

- $\dim \text{Im}(f) = 1$のとき、$\dim \text{Ker}(f) = 7 - 1 = 6$

- $\dim \text{Im}(f) = 2$のとき、$\dim \text{Ker}(f) = 7 - 2 = 5$

- $\dim \text{Im}(f) = 3$のとき、$\dim \text{Ker}(f) = 7 - 3 = 4$

3. 最終的な答え

$\dim \text{Ker}(f)$がとりうる値は、4, 5, 6, 7 です。