数列全体のなすベクトル空間 $R^N = \{ \{a_n\} | a_n \in R\}$ の部分空間 $W$ を、3項間漸化式 $a_{n+2} = a_{n+1} + a_n$ を満たす数列全体 $W = \{ \{a_n\} | \text{すべての自然数 $n$ について } a_{n+2} = a_{n+1} + a_n \}$ として定義する。線形写像 $f: W \rightarrow R^2$ を $f(\{a_n\}) = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \end{bmatrix}$ で定める。 $f: W \rightarrow R^2$ が同型写像であることを示す。

1. 問題の内容

数列全体のなすベクトル空間 $R^N = \{ \{a_n\} | a_n \in R\}$ の部分空間 $W$ を、3項間漸化式 $a_{n+2} = a_{n+1} + a_n$ を満たす数列全体

W = \{ \{a_n\} | \text{すべての自然数 n について } a_{n+2} = a_{n+1} + a_n \}

として定義する。線形写像 $f: W \rightarrow R^2$ を $f(\{a_n\}) = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \end{bmatrix}$ で定める。

$f: W \rightarrow R^2$ が同型写像であることを示す。

2. 解き方の手順

同型写像であることを示すには、$f$ が線形であり、かつ全単射であることを示す必要があります。

問題文より、$f$ が線形写像であることはすでに与えられているので、$f$ が全単射であることを示します。

(1) $f$ が単射であることを示す

$f(\{a_n\}) = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ であると仮定します。すなわち、$a_1 = 0$ かつ $a_2 = 0$ であるとします。

数列 $\{a_n\}$ は漸化式 $a_{n+2} = a_{n+1} + a_n$ を満たすので、$a_3 = a_2 + a_1 = 0 + 0 = 0$、同様に $a_4 = a_3 + a_2 = 0 + 0 = 0$、…となります。

したがって、すべての $n$ に対して $a_n = 0$ となり、数列 $\{a_n\}$ はゼロ数列 $\{0\}$ となります。

これは、$f$ の核が $\{0\}$ であることを意味するので、$f$ は単射です。

(2) $f$ が全射であることを示す

任意の $\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \in R^2$ を考えます。

数列 $\{a_n\}$ を $a_1 = x$, $a_2 = y$ となるように定義し、さらに漸化式 $a_{n+2} = a_{n+1} + a_n$ を満たすように定義します。

このとき、$f(\{a_n\}) = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$ となるので、任意の $\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \in R^2$ に対して、ある数列 $\{a_n\} \in W$ が存在します。

したがって、$f$ は全射です。

(3) $f$ が同型写像であることの結論

$f$ は線形写像であり、かつ単射であり、かつ全射なので、$f$ は同型写像です。

3. 最終的な答え

$f: W \rightarrow R^2$ は同型写像である。