数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 5$ および漸化式 $a_{n+1} = 3a_n - 2$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) で定義されるとき、この数列の一般項 $a_n$ を求める。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 5$ および漸化式 $a_{n+1} = 3a_n - 2$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) で定義されるとき、この数列の一般項 $a_n$ を求める。

2. 解き方の手順

漸化式 $a_{n+1} = 3a_n - 2$ を $a_{n+1} - \alpha = 3(a_n - \alpha)$ の形に変形することを考えます。

まず、$\alpha$ を求めます。

$a_{n+1} = 3a_n - 2$ と $a_{n+1} - \alpha = 3(a_n - \alpha)$ を比較すると、

$3\alpha - \alpha = 2$ となります。

したがって、

$2\alpha = 2$

$\alpha = 1$

よって、漸化式は $a_{n+1} - 1 = 3(a_n - 1)$ と変形できます。

ここで、$b_n = a_n - 1$ とおくと、数列 $\{b_n\}$ は、

$b_{n+1} = 3b_n$

を満たします。これは、数列 $\{b_n\}$ が公比 $3$ の等比数列であることを意味します。

初項は $b_1 = a_1 - 1 = 5 - 1 = 4$ です。

したがって、$b_n = 4 \cdot 3^{n-1}$ となります。

$b_n = a_n - 1$ より、$a_n = b_n + 1$ ですから、

$a_n = 4 \cdot 3^{n-1} + 1$

3. 最終的な答え

$a_n = 4 \cdot 3^{n-1} + 1$