数列 $\{a_n\}$ が与えられており、$a_1 = 4$、$a_{n+1} = 3a_n - 2$ である。この数列に関する穴埋め問題を解く。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が与えられており、$a_1 = 4$、$a_{n+1} = 3a_n - 2$ である。この数列に関する穴埋め問題を解く。

2. 解き方の手順

まず、与えられた漸化式 $a_{n+1} = 3a_n - 2$ を、$a_{n+1} - \alpha = 3(a_n - \alpha)$ の形に変形することを考える。

$a_{n+1} - \alpha = 3a_n - 3\alpha$ であるから、$a_{n+1} = 3a_n - 2$ と比較して $-2 = -3\alpha$ より、$\alpha = \frac{2}{3-1} = 1$。

したがって、$a_{n+1} - 1 = 3(a_n - 1)$ と変形できる。したがって、5,6には1,3が入る。

$b_n = a_n - 1$ とおくと、数列 $\{b_n\}$ は初項 $b_1 = a_1 - 1 = 4 - 1 = 3$、公比3の等比数列である。したがって、7には3が入る。

よって、$b_n = 3 \cdot 3^{n-1} = 3^n$ である。したがって、8, 9には3,nが入る。

$\{a_n\}$ の一般項は、$a_n = b_n + 1 = 3^n + 1$ である。したがって、10には1が入る。

$\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和は、

$\sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^n (3^k + 1) = \sum_{k=1}^n 3^k + \sum_{k=1}^n 1$

$= \frac{3(3^n - 1)}{3 - 1} + n = \frac{3}{2}(3^n - 1) + n = \frac{3}{2} \cdot 3^n - \frac{3}{2} + n = \frac{1}{2} \cdot 3^{n+1} + n - \frac{3}{2}$.

$\sum_{k=1}^n a_k = \frac{1}{2} 3^{n+1} + n - \frac{3}{2} = \frac{1}{2} 3^{n+1} + n - \frac{3}{2}$

11,12,13,14には2,3,-3,2が入る。

3. 最終的な答え

5: 1

6: 3

7: 3

8: 3

9: 2

10: 1

11: 2

12: 3

13: -3

14: 2