(1) 次の値を求めよ。 (ア) $16^{\log_2 3}$ (イ) $(\frac{1}{49})^{\log_7 \frac{2}{3}}$ (2) $3^x = 5^y = \sqrt{15}$ のとき、$\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 次の値を求めよ。

(ア) $16^{\log_2 3}$

(イ) $(\frac{1}{49})^{\log_7 \frac{2}{3}}$

(2) $3^x = 5^y = \sqrt{15}$ のとき、$\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)(ア)

$16^{\log_2 3}$ の値を求める。

まず、16 を 2 の累乗で表す。

$16 = 2^4$

よって、

$16^{\log_2 3} = (2^4)^{\log_2 3} = 2^{4\log_2 3}$

指数法則より、

$2^{4\log_2 3} = 2^{\log_2 3^4} = 2^{\log_2 81}$

対数の性質より、$a^{\log_a b} = b$ を用いると、

$2^{\log_2 81} = 81$

(1)(イ)

$(\frac{1}{49})^{\log_7 \frac{2}{3}}$ の値を求める。

$\frac{1}{49} = \frac{1}{7^2} = 7^{-2}$

よって、

$(\frac{1}{49})^{\log_7 \frac{2}{3}} = (7^{-2})^{\log_7 \frac{2}{3}} = 7^{-2\log_7 \frac{2}{3}}$

指数法則より、

$7^{-2\log_7 \frac{2}{3}} = 7^{\log_7 (\frac{2}{3})^{-2}} = 7^{\log_7 (\frac{3}{2})^2}$

$= 7^{\log_7 \frac{9}{4}}$

対数の性質より、$a^{\log_a b} = b$ を用いると、

$7^{\log_7 \frac{9}{4}} = \frac{9}{4}$

(2)

$3^x = 5^y = \sqrt{15}$ のとき、$\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ の値を求める。

$3^x = \sqrt{15} = 15^{\frac{1}{2}}$

両辺の対数をとると、

$x \log 3 = \frac{1}{2} \log 15$

$\frac{1}{x} = \frac{2 \log 3}{\log 15}$

$5^y = \sqrt{15} = 15^{\frac{1}{2}}$

両辺の対数をとると、

$y \log 5 = \frac{1}{2} \log 15$

$\frac{1}{y} = \frac{2 \log 5}{\log 15}$

よって、

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{2 \log 3}{\log 15} + \frac{2 \log 5}{\log 15} = \frac{2(\log 3 + \log 5)}{\log 15}$

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{2 \log (3 \times 5)}{\log 15} = \frac{2 \log 15}{\log 15} = 2$

3. 最終的な答え

(1)(ア) 81

(1)(イ) $\frac{9}{4}$

(2) 2