放物線 $y = 2x^2 - 4x + 3$ を指定された平行移動をした後の放物線の方程式を求めます。 (1) $x$ 軸方向に $1$, $y$ 軸方向に $-3$ だけ平行移動します。 (2) $x$ 軸方向に $-5$, $y$ 軸方向に $2$ だけ平行移動します。

1. 問題の内容

放物線 $y = 2x^2 - 4x + 3$ を指定された平行移動をした後の放物線の方程式を求めます。

(1) $x$ 軸方向に $1$, $y$ 軸方向に $-3$ だけ平行移動します。

(2) $x$ 軸方向に $-5$, $y$ 軸方向に $2$ だけ平行移動します。

2. 解き方の手順

放物線 $y = f(x)$ を $x$ 軸方向に $p$, $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動すると、その方程式は $y - q = f(x - p)$ となります。つまり、$y = f(x-p) + q$となります。

(1) $x$ 軸方向に $1$, $y$ 軸方向に $-3$ だけ平行移動する場合：

$x$ を $x - 1$ に、 $y$ を $y + 3$ に置き換えます。

$y + 3 = 2(x - 1)^2 - 4(x - 1) + 3$

$y = 2(x^2 - 2x + 1) - 4x + 4 + 3 - 3$

$y = 2x^2 - 4x + 2 - 4x + 4$

$y = 2x^2 - 8x + 6$

(2) $x$ 軸方向に $-5$, $y$ 軸方向に $2$ だけ平行移動する場合：

$x$ を $x + 5$ に、 $y$ を $y - 2$ に置き換えます。

$y - 2 = 2(x + 5)^2 - 4(x + 5) + 3$

$y = 2(x^2 + 10x + 25) - 4x - 20 + 3 + 2$

$y = 2x^2 + 20x + 50 - 4x - 15$

$y = 2x^2 + 16x + 35$

3. 最終的な答え

(1) $y = 2x^2 - 8x + 6$

(2) $y = 2x^2 + 16x + 35$