与えられた2次関数について、最大値または最小値を求める問題です。

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた2次関数について、最大値または最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

各2次関数について、平方完成を行い、頂点の座標を求めます。

$y=a(x-p)^2 + q$ の形に変形することで、頂点の座標$(p, q)$がわかります。

$a > 0$ の場合、下に凸なグラフとなり、頂点で最小値 $q$ をとります。

$a < 0$ の場合、上に凸なグラフとなり、頂点で最大値 $q$ をとります。

(1) $y=(x-1)^2 + 5$

すでに平方完成されています。頂点は$(1, 5)$。$a = 1 > 0$ なので、下に凸。最小値は5。最大値はなし。

(2) $y = -3x^2 + 2$

すでに平方完成されています。頂点は$(0, 2)$。$a = -3 < 0$ なので、上に凸。最大値は2。最小値はなし。

(3) $y = x^2 - 4x - 4$

平方完成を行います。

$y = (x^2 - 4x) - 4$

$y = (x^2 - 4x + 4 - 4) - 4$

$y = (x - 2)^2 - 4 - 4$

$y = (x - 2)^2 - 8$

頂点は$(2, -8)$。$a = 1 > 0$ なので、下に凸。最小値は-8。最大値はなし。

(4) $y = -2x^2 - 4x - 3$

平方完成を行います。

$y = -2(x^2 + 2x) - 3$

$y = -2(x^2 + 2x + 1 - 1) - 3$

$y = -2(x + 1)^2 + 2 - 3$

$y = -2(x + 1)^2 - 1$

頂点は$(-1, -1)$。$a = -2 < 0$ なので、上に凸。最大値は-1。最小値はなし。

(5) $y = x^2 + 5x + 4$

平方完成を行います。

$y = (x^2 + 5x) + 4$

$y = (x^2 + 5x + (5/2)^2 - (5/2)^2) + 4$

$y = (x + 5/2)^2 - 25/4 + 4$

$y = (x + 5/2)^2 - 25/4 + 16/4$

$y = (x + 5/2)^2 - 9/4$

頂点は$(-5/2, -9/4)$。$a = 1 > 0$ なので、下に凸。最小値は$-9/4$。最大値はなし。

(6) $y = -2x^2 + 3x - 1$

平方完成を行います。

$y = -2(x^2 - (3/2)x) - 1$

$y = -2(x^2 - (3/2)x + (3/4)^2 - (3/4)^2) - 1$

$y = -2(x - 3/4)^2 + 2(9/16) - 1$

$y = -2(x - 3/4)^2 + 9/8 - 8/8$

$y = -2(x - 3/4)^2 + 1/8$

頂点は$(3/4, 1/8)$。$a = -2 < 0$ なので、上に凸。最大値は$1/8$。最小値はなし。

3. 最終的な答え

(1) 最小値：5、最大値：なし

(2) 最大値：2、最小値：なし

(3) 最小値：-8、最大値：なし

(4) 最大値：-1、最小値：なし

(5) 最小値：$-9/4$、最大値：なし

(6) 最大値：$1/8$、最小値：なし