(1) $P(x) = x^3 - 8x^2 + 23x - 22$ について、$P(1) = 0$ であることから、$P(x) = 0$ を因数分解し、解 $\alpha, \beta$ について $\alpha + \beta$ と $\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta}$ の値を求める。 (2) $x^2 + y^2 - 6x + 4y + 12 = 0$ が表す円 $C$ について、中心 $A$ の座標、半径、中心 $A$ を通り傾きが 2 である直線の方程式、直線 $y = -x + k$ と円 $C$ が接するような $k$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) $P(x) = x^3 - 8x^2 + 23x - 22$ について、$P(1) = 0$ であることから、$P(x) = 0$ を因数分解し、解 $\alpha, \beta$ について $\alpha + \beta$ と $\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta}$ の値を求める。

(2) $x^2 + y^2 - 6x + 4y + 12 = 0$ が表す円 $C$ について、中心 $A$ の座標、半径、中心 $A$ を通り傾きが 2 である直線の方程式、直線 $y = -x + k$ と円 $C$ が接するような $k$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$P(1) = 1^3 - 8(1)^2 + 23(1) - 22 = 1 - 8 + 23 - 22 = -6 \neq 0$ なので、$P(1)=0$ ではない。 $P(2)=0$を仮定すると $P(2)=2^3-8(2)^2+23(2)-22 = 8-32+46-22=0$ となり、$x-2$ を因数に持つ。

$P(x) = (x - 2)(x^2 - 6x + 11) = 0$

$x^2 - 6x + 11 = 0$ の解を $\alpha, \beta$ とすると、解と係数の関係より、$\alpha + \beta = 6$、$\alpha \beta = 11$。

したがって、$\alpha + \beta = 6$。

$\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha \beta} = \frac{(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta}{\alpha \beta} = \frac{6^2 - 2(11)}{11} = \frac{36 - 22}{11} = \frac{14}{11}$。

(2)

円の方程式を変形する。

$x^2 - 6x + y^2 + 4y + 12 = 0$

$(x - 3)^2 - 9 + (y + 2)^2 - 4 + 12 = 0$

$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 1$

(i) 円 $C$ の中心 $A$ の座標は $(3, -2)$ であり、半径は $1$ である。

(ii) 点 $A(3, -2)$ を通り、傾きが 2 である直線の方程式は、

$y - (-2) = 2(x - 3)$

$y + 2 = 2x - 6$

$y = 2x - 8$

(iii) 直線 $y = -x + k$ と円 $C$ が接するとき、円の中心 $(3, -2)$ と直線 $-x - y + k = 0$ との距離が半径 $1$ に等しい。

$\frac{|-3 - (-2) + k|}{\sqrt{(-1)^2 + (-1)^2}} = 1$

$\frac{|-1 + k|}{\sqrt{2}} = 1$

$|-1 + k| = \sqrt{2}$

$-1 + k = \pm \sqrt{2}$

$k = 1 \pm \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) 1: 2, 2: 6, 3: 11, 4: 11, 5: 6, 6: 1, 7: 4, 8: 1, 9: 1

(2) 10: 3, 11: -2, 12: 1, 13: 2, 14: 8, 15: 1, 16: 2