実数 $x$ に対して、$f(x) = \sqrt{x^2 + 2x + 1} - \sqrt{x^2 - 4x + 4}$ とおく。$f(x)$ を簡単にすると、$x$ の範囲によって $f(x)$ の値がどのように変化するかを求める問題です。

1. 問題の内容

実数 $x$ に対して、$f(x) = \sqrt{x^2 + 2x + 1} - \sqrt{x^2 - 4x + 4}$ とおく。$f(x)$ を簡単にすると、$x$ の範囲によって $f(x)$ の値がどのように変化するかを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の式を簡単にする。根号の中身を因数分解すると、

$$f(x) = \sqrt{(x+1)^2} - \sqrt{(x-2)^2}$$

絶対値記号を用いて書き換えると、

$$f(x) = |x+1| - |x-2|$$

絶対値記号を外すために、$x$ の範囲を場合分けする。

(1) $x < -1$ のとき、$x+1 < 0$ かつ $x-2 < 0$ であるから、

$$f(x) = -(x+1) - \{-(x-2)\} = -x - 1 + x - 2 = -3$$

(2) $-1 \le x < 2$ のとき、$x+1 \ge 0$ かつ $x-2 < 0$ であるから、

$$f(x) = (x+1) - \{-(x-2)\} = x + 1 + x - 2 = 2x - 1$$

(3) $2 \le x$ のとき、$x+1 > 0$ かつ $x-2 \ge 0$ であるから、

$$f(x) = (x+1) - (x-2) = x + 1 - x + 2 = 3$$

3. 最終的な答え

$x < -1$ のとき $f(x) = -3$

$-1 \le x < 2$ のとき $f(x) = 2x - 1$

$2 \le x$ のとき $f(x) = 3$