与えられた数学の問題を解き、解答欄に答えのみを記入する。問題は、(1)式の計算、(2)式の展開と整理、(3)式の因数分解、(4)絶対値方程式、(5)連立不等式、の5つです。

1. 問題の内容

与えられた数学の問題を解き、解答欄に答えのみを記入する。問題は、(1)式の計算、(2)式の展開と整理、(3)式の因数分解、(4)絶対値方程式、(5)連立不等式、の5つです。

2. 解き方の手順

(1) $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{54}} + \frac{5}{3\sqrt{2}}$ を計算する。

まず、$\sqrt{54} = \sqrt{9 \times 6} = 3\sqrt{6}$ なので、

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{54}} = \frac{\sqrt{3}}{3\sqrt{6}} = \frac{1}{3\sqrt{2}}$ となる。

よって、$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{54}} + \frac{5}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{3\sqrt{2}} + \frac{5}{3\sqrt{2}} = \frac{6}{3\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$

(2) $(3x-2y)^2 - (2x+3y)(-2x+3y)$ を展開し整理する。

$(3x-2y)^2 = 9x^2 - 12xy + 4y^2$

$(2x+3y)(-2x+3y) = (3y+2x)(3y-2x) = 9y^2 - 4x^2$

$(3x-2y)^2 - (2x+3y)(-2x+3y) = (9x^2 - 12xy + 4y^2) - (9y^2 - 4x^2) = 9x^2 - 12xy + 4y^2 - 9y^2 + 4x^2 = 13x^2 - 12xy - 5y^2$

(3) $6x^2 - 19x - 20$ を因数分解する。

$6x^2 - 19x - 20 = (2x-5)(3x+4)$

(4) 方程式 $|1-5x| = 4$ を解く。

$1-5x = 4$ のとき、$-5x = 3$ より $x = -\frac{3}{5}$

$1-5x = -4$ のとき、$-5x = -5$ より $x = 1$

したがって、 $x = -\frac{3}{5}, 1$

(5) 連立不等式 $\begin{cases} 2x+0.7>0.4(1-x) \\ \frac{x-5}{7}+1\ge \frac{x-2}{5} \end{cases}$ を解く。

一つ目の不等式: $2x+0.7 > 0.4 - 0.4x$

$2.4x > -0.3$

$x > -\frac{0.3}{2.4} = -\frac{3}{24} = -\frac{1}{8}$

二つ目の不等式: $\frac{x-5}{7} + 1 \ge \frac{x-2}{5}$

$\frac{x-5+7}{7} \ge \frac{x-2}{5}$

$\frac{x+2}{7} \ge \frac{x-2}{5}$

$5(x+2) \ge 7(x-2)$

$5x+10 \ge 7x-14$

$24 \ge 2x$

$12 \ge x$

したがって、$-\frac{1}{8} < x \le 12$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{2}$

(2) $13x^2 - 12xy - 5y^2$

(3) $(2x-5)(3x+4)$

(4) $x = -\frac{3}{5}, 1$

(5) $-\frac{1}{8} < x \le 12$