不等式 $\sqrt{x^2} + \sqrt{x^2 - 2x + 1} > 3x$ を解く。

1. 問題の内容

不等式 $\sqrt{x^2} + \sqrt{x^2 - 2x + 1} > 3x$ を解く。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{x^2}$ と $\sqrt{x^2 - 2x + 1}$ を簡単にする。

$\sqrt{x^2} = |x|$

$\sqrt{x^2 - 2x + 1} = \sqrt{(x-1)^2} = |x-1|$

したがって、与えられた不等式は以下のように書き換えられる。

$|x| + |x-1| > 3x$

この不等式を解くために、場合分けを行う。

(1) $x < 0$ のとき、 $|x| = -x$ かつ $|x-1| = -(x-1) = 1-x$ なので、不等式は

$-x + 1 - x > 3x$

$1 > 5x$

$x < \frac{1}{5}$

$x < 0$ と $x < \frac{1}{5}$ の共通部分は $x < 0$。

(2) $0 \le x < 1$ のとき、 $|x| = x$ かつ $|x-1| = -(x-1) = 1-x$ なので、不等式は

$x + 1 - x > 3x$

$1 > 3x$

$x < \frac{1}{3}$

$0 \le x < 1$ と $x < \frac{1}{3}$ の共通部分は $0 \le x < \frac{1}{3}$。

(3) $x \ge 1$ のとき、 $|x| = x$ かつ $|x-1| = x-1$ なので、不等式は

$x + x - 1 > 3x$

$2x - 1 > 3x$

$-1 > x$

$x < -1$

$x \ge 1$ と $x < -1$ の共通部分はない。

したがって、(1), (2), (3) から、不等式の解は

$x < 0$ または $0 \le x < \frac{1}{3}$。

これらを合わせると $x < \frac{1}{3}$。

3. 最終的な答え

$x < \frac{1}{3}$