(4) 行列 $A = \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$ に対して、$A^2 - 2E_2$ を計算する。ここで、$E_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ は2次の単位行列である。 (5) (4)の行列 $A$ に対して、$A^n$ を求める。(4)の結果をヒントとして利用する。 (6) 行列 $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ に対して、$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}^n$ を求める。 ヒントとして、一般に $E_3$ を3次単位行列、$B$ を3x3行列(任意)としたとき、$(E_3 + B)^n = E_3 + nB + \frac{n(n-1)}{2}B^2 + \cdots + B^n$ が成り立つことを利用する。

はい、承知いたしました。問題(4),(5),(6)について順に解いていきます。

1. 問題の内容

(4) 行列 $A = \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$ に対して、$A^2 - 2E_2$ を計算する。ここで、$E_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ は2次の単位行列である。

(5) (4)の行列 $A$ に対して、$A^n$ を求める。(4)の結果をヒントとして利用する。

(6) 行列 $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ に対して、$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}^n$ を求める。 ヒントとして、一般に $E_3$ を3次単位行列、$B$ を3x3行列(任意)としたとき、$(E_3 + B)^n = E_3 + nB + \frac{n(n-1)}{2}B^2 + \cdots + B^n$ が成り立つことを利用する。

2. 解き方の手順

(4) まず、$A^2$ を計算する。その後、$2E_2$ を計算し、$A^2 - 2E_2$ を求める。

$A^2 = A \times A = \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4-2 & 2-2 \\ -4+4 & -2+4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$

$2E_2 = 2 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$

$A^2 - 2E_2 = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

(5) (4)の結果 $A^2 - 2E_2 = 0$ より、$A^2 = 2E_2 = 2I$ がわかる。よって、$A^2 = 2I$ である。

$A^3 = A^2 \cdot A = 2IA = 2A$

$A^4 = A^2 \cdot A^2 = (2I)(2I) = 4I = 2^2I$

$A^5 = A^4 \cdot A = 4I \cdot A = 4A = 2^2A$

一般に、$n$ が偶数のとき、$A^n = 2^{n/2}I = 2^{n/2}E_2 = \begin{pmatrix} 2^{n/2} & 0 \\ 0 & 2^{n/2} \end{pmatrix}$

$n$ が奇数のとき、$A^n = 2^{(n-1)/2}A = 2^{(n-1)/2}\begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2^{(n+1)/2} & -2^{(n-1)/2} \\ 2^{(n+1)/2} & 2^{(n+1)/2} \end{pmatrix}$

(6) $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ とおくと、与えられた行列は $E_3 + B$ と表せる。

$B^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$B^3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

したがって、$B^k = 0$ for $k \ge 3$.

よって、$(E_3 + B)^n = E_3 + nB + \frac{n(n-1)}{2}B^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + n \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + \frac{n(n-1)}{2} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & n & \frac{n(n-1)}{2} \\ 0 & 1 & n \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(4) $A^2 - 2E_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

(5) $n$ が偶数のとき、$A^n = \begin{pmatrix} 2^{n/2} & 0 \\ 0 & 2^{n/2} \end{pmatrix}$

$n$ が奇数のとき、$A^n = \begin{pmatrix} -2^{(n+1)/2} & -2^{(n-1)/2} \\ 2^{(n+1)/2} & 2^{(n+1)/2} \end{pmatrix}$

(6) $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix} 1 & n & \frac{n(n-1)}{2} \\ 0 & 1 & n \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$