直線 $y = 2x - 1$ に $x = 1$ で接し、点 $(-1, 2)$ を通る放物線の方程式を求める。

1. 問題の内容

直線 $y = 2x - 1$ に $x = 1$ で接し、点 $(-1, 2)$ を通る放物線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

放物線の方程式を $y = ax^2 + bx + c$ とおく。

まず、$y = 2x - 1$ に $x = 1$ で接するという条件を考える。

$x = 1$ のとき、$y = 2(1) - 1 = 1$ なので、放物線は点 $(1, 1)$ を通る。

よって、$a(1)^2 + b(1) + c = 1$ より、

$a + b + c = 1$ ...(1)

次に、放物線の微分を考える。$y' = 2ax + b$

$x = 1$ で接線の傾きが $2$ であるから、$y'(1) = 2$ となる。

$2a(1) + b = 2$ より、

$2a + b = 2$ ...(2)

最後に、点 $(-1, 2)$ を通るという条件を考える。

$a(-1)^2 + b(-1) + c = 2$ より、

$a - b + c = 2$ ...(3)

(1), (2), (3) の連立方程式を解く。

(1) - (3) より、

$(a + b + c) - (a - b + c) = 1 - 2$

$2b = -1$

$b = -\frac{1}{2}$

(2) に $b = -\frac{1}{2}$ を代入して、

$2a - \frac{1}{2} = 2$

$2a = \frac{5}{2}$

$a = \frac{5}{4}$

(1) に $a = \frac{5}{4}$ と $b = -\frac{1}{2}$ を代入して、

$\frac{5}{4} - \frac{1}{2} + c = 1$

$\frac{3}{4} + c = 1$

$c = \frac{1}{4}$

したがって、放物線の方程式は $y = \frac{5}{4}x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}$ である。

3. 最終的な答え

$y = \frac{5}{4}x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}$