$\sqrt{6}\sin\theta - \sqrt{2}\cos\theta$ を $r\sin(\theta + \alpha)$ の形に変形する問題です。ただし、$r > 0$ かつ $-\pi < \alpha < \pi$ とします。

1. 問題の内容

$\sqrt{6}\sin\theta - \sqrt{2}\cos\theta$ を $r\sin(\theta + \alpha)$ の形に変形する問題です。ただし、$r > 0$ かつ $-\pi < \alpha < \pi$ とします。

2. 解き方の手順

まず、$r\sin(\theta + \alpha)$ を加法定理を用いて展開します。

$r\sin(\theta + \alpha) = r(\sin\theta\cos\alpha + \cos\theta\sin\alpha) = (r\cos\alpha)\sin\theta + (r\sin\alpha)\cos\theta$

与えられた式 $\sqrt{6}\sin\theta - \sqrt{2}\cos\theta$ と比較すると、次のようになります。

$r\cos\alpha = \sqrt{6}$

$r\sin\alpha = -\sqrt{2}$

この2式から $r$ と $\alpha$ を求めます。まず、2乗して足し合わせます。

$(r\cos\alpha)^2 + (r\sin\alpha)^2 = (\sqrt{6})^2 + (-\sqrt{2})^2$

$r^2(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) = 6 + 2$

$r^2 = 8$

$r > 0$ より、 $r = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

次に、$\cos\alpha$ と $\sin\alpha$ を求めます。

$\cos\alpha = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin\alpha = \frac{-\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = -\frac{1}{2}$

$\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ かつ $\sin\alpha = -\frac{1}{2}$ を満たす $\alpha$ は、 $-\frac{\pi}{6}$ です。

なぜなら、単位円で考えると、コサインの値が $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 、サインの値が $-\frac{1}{2}$ となる角度は $-\frac{\pi}{6}$ のみだからです。

したがって、$\alpha = -\frac{\pi}{6}$

よって、

$\sqrt{6}\sin\theta - \sqrt{2}\cos\theta = 2\sqrt{2}\sin(\theta - \frac{\pi}{6})$

3. 最終的な答え

ヌ = 2

ネ = 2

ノ = ②